Формула трапеции

Остаточный член равен

или

Назначение сервиса. Сервис предназначен для онлайн вычисления определенного интеграла по формуле трапеции.

Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x), нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.

Правила ввода функции

Примеры

≡ x^2/(1+x)
cos²(2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2

≡ x+(x-1)^(2/3)

Скачать пример оформления

Вывод формулы трапеции

Пусть n=1 (две точки). Тогда из формулы (3) получаем

Отсюда

. (5)
Это известная формула трапеций. Остаточный член равен

Получим формулу для R. Пусть известно, что y∈C⁽²⁾ [a,b]. Запишем R в виде R=R(h)

.
Дифференцируя эту формулу по h два раза, получим

причем R(0)=0, R'(0)=0.
Отсюда, интегрируя по h и используя теорему о среднем, последовательно выводим

где ξ₁∈[x₀,x₀+h].

где ξ∈[x₀,x₀+h] или ξ₁∈[x₀,x₁].
Таким образом,

. (6)
Получим теперь формулу трапеций для

, т.е. для функции f(x), заданной на произвольном интервале [a,b].
Пусть задана сетка {x_i}, где x_i=a+ih, i=0,..,n. Тогда интеграл

можно записать в виде

, (7)

Остаточный член

(8)

Т.к. y″ непрерывна на [a,b], то всегда можно найти такую точку ξ∈[a,b], что

.
Следовательно, из (8) получим

. (9)

Геометрически формула (7) получается, если график функции y=f(x) заменить ломаной.
Из формул (6) и (9) видно, что если y″ > 0, то формула трапеции (5), (7) даст значение интеграла с избытком, если y″<0, то – с недостатком.

Замечание. Если сетка неравномерная, то вместо формулы (7) будем иметь:
.
.

Пример №2. Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.

Формула трапеций:

i	x_i	y_i
0	0	0
1	0.1	0.001
2	0.2	0.008
3	0.3	0.027
4	0.4	0.06396
5	0.5	0.1245
6	0.6	0.2124
7	0.7	0.3243
8	0.8	0.4384
9	0.9	0.5096
10	1	0.5

Остаточный член квадратурной формулы:

Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [0;1].
y = 6*x/(1+x^8)+128*x^17/((1+x^8)^3)-104*x^9/((1+x^8)^2)
[0;1]
Находим первую производную функции:

или

Приравниваем ее к нулю:

Поскольку глобальных экстремумов нет, то находим стационарные точки. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
f(0) = 0; f(1) = -7
f_min = -7, f_max = 0