Формула трапеции
![Формула трапеции Формула трапеции](images/integration-image195.gif)
![](images/integration-image189.gif)
![](images/integration-image200.gif)
Назначение сервиса. Сервис предназначен для онлайн вычисления определенного интеграла по формуле трапеции.
Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x)
, нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.
Правила ввода функции
![](/math/images/example1.png)
cos2(2x+π)
≡ (cos(2*x+pi))^2
![](/math/images/example3.png)
Вывод формулы трапеции
Пусть n=1 (две точки). Тогда из формулы (3) получаем![](images/integration-image176.gif)
![](images/integration-image118.gif)
Это известная формула трапеций. Остаточный член равен
![](images/integration-image177.gif)
![](images/integration-image178.gif)
Получим формулу для R. Пусть известно, что y∈C(2) [a,b]. Запишем R в виде
R=R(h)
![](images/integration-image180.gif)
Дифференцируя эту формулу по h два раза, получим
![](images/integration-image181.gif)
![](images/integration-image182.gif)
Отсюда, интегрируя по h и используя теорему о среднем, последовательно выводим
![](images/integration-image184.gif)
![](images/integration-image186.gif)
Таким образом,
![](images/integration-image189.gif)
Получим теперь формулу трапеций для
![](images/integration-image190.gif)
Пусть задана сетка {xi}, где xi=a+ih, i=0,..,n. Тогда интеграл
![](images/integration-image190.gif)
![](images/integration-image195.gif)
![](images/integration-image196.gif)
![](images/integration-image199.gif)
Следовательно, из (8) получим
![](images/integration-image200.gif)
![](images/integration-image201.gif)
Геометрически формула (7) получается, если график функции y=f(x) заменить ломаной.
Из формул (6) и (9) видно, что если y″ > 0, то формула трапеции (5), (7) даст значение интеграла с избытком, если y″<0, то – с недостатком.
Замечание. Если сетка неравномерная, то вместо формулы (7) будем иметь:
.
.
Пример №2. Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.
Формула трапеций:
![](images/1/etrapezoid2.png)
![](images/1/etrapezoid3.png)
i | xi | yi |
0 | 0 | 0 |
1 | 0.1 | 0.001 |
2 | 0.2 | 0.008 |
3 | 0.3 | 0.027 |
4 | 0.4 | 0.06396 |
5 | 0.5 | 0.1245 |
6 | 0.6 | 0.2124 |
7 | 0.7 | 0.3243 |
8 | 0.8 | 0.4384 |
9 | 0.9 | 0.5096 |
10 | 1 | 0.5 |
![](images/1/etrapezoid4.png)
![](images/1/etrapezoid5.png)
![](images/1/etrapezoid6.png)
Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [0;1].
y = 6*x/(1+x^8)+128*x^17/((1+x^8)^3)-104*x^9/((1+x^8)^2)
[0;1]
Находим первую производную функции:
![](images/1/etrapezoid7.png)
![](images/1/etrapezoid8.png)
Приравниваем ее к нулю:
![](images/1/etrapezoid9.png)
Поскольку глобальных экстремумов нет, то находим стационарные точки. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
f(0) = 0; f(1) = -7
fmin = -7, fmax = 0
![](images/1/etrapezoid10.png)
![](images/1/etrapezoid11.png)
Таким образом, I = 0.196 ± 0