Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Метод Зейделя Метод Ньютона Метод хорд
Решение уравнений Метод LU-разложения Метод Гаусса
Матрица Гессе Градиент функции Экстремум функции

Формула трапеции

Формула трапеции
Остаточный член равен или

Назначение сервиса. Сервис предназначен для онлайн вычисления определенного интеграла по формуле трапеции.

Инструкция. Введите подынтегральную функцию f(x), нажмите Решить. Полученное решение сохраняется в файле Word. Также создается шаблон решения в Excel.

Подынтегральная функция
f(x) =
Пределы интегрирования до .
Точность округления
Количество интервалов разбиения n =
или Шаг h =
Метод численного интегрирования функций

Правила ввода функции

Примеры
x^2/(1+x)
cos2(2x+π)(cos(2*x+pi))^2
x+(x-1)^(2/3)

Вывод формулы трапеции

Пусть n=1 (две точки). Тогда из формулы (3) получаем
.
Отсюда . (5)
Это известная формула трапеций. Остаточный член равен .

Получим формулу для R. Пусть известно, что y∈C(2) [a,b]. Запишем R в виде R=R(h)
.
Дифференцируя эту формулу по h два раза, получим
,
причем R(0)=0, R'(0)=0.
Отсюда, интегрируя по h и используя теорему о среднем, последовательно выводим

где ξ1∈[x0,x0+h].
,
где ξ∈[x0,x0+h] или ξ1∈[x0,x1].
Таким образом, . (6)
Получим теперь формулу трапеций для , т.е. для функции f(x), заданной на произвольном интервале [a,b].
Пусть задана сетка {xi}, где xi=a+ih, i=0,..,n. Тогда интеграл можно записать в виде
. (7)
Остаточный член
(8)
Т.к. y″ непрерывна на [a,b], то всегда можно найти такую точку ξ∈[a,b], что .
Следовательно, из (8) получим . (9)

Геометрически формула (7) получается, если график функции y=f(x) заменить ломаной.
Из формул (6) и (9) видно, что если y″ > 0, то формула трапеции (5), (7) даст значение интеграла с избытком, если y″<0, то – с недостатком.

Замечание. Если сетка неравномерная, то вместо формулы (7) будем иметь:
.
.

Пример №2. Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.

Формула трапеций:

ixiyi
000
10.10.001
20.20.008
30.30.027
40.40.06396
50.50.1245
60.60.2124
70.70.3243
80.80.4384
90.90.5096
1010.5


Остаточный член квадратурной формулы:


Найдем максимальное значение второй производной функции на интервале [0;1].
y = 6*x/(1+x^8)+128*x^17/((1+x^8)^3)-104*x^9/((1+x^8)^2)
[0;1]
Находим первую производную функции:

или

Приравниваем ее к нулю:

Поскольку глобальных экстремумов нет, то находим стационарные точки. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
f(0) = 0; f(1) = -7
fmin = -7, fmax = 0


Таким образом, I = 0.196 ± 0