Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Метод Зейделя Метод Ньютона Метод хорд
Решение уравнений Метод LU-разложения Метод Гаусса
Матрица Гессе Градиент функции Экстремум функции

Решение СЛАУ методом Зейделя

Назначение сервиса. Сервис предназначен для решения СЛАУ в онлайн режиме методом Зейделя. Дополнительно генерируется шаблон решения в Excel. Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Инструкция. Выберите количество переменных, нажмите Далее.

Решение оформляется в файле Word.
Количество переменных

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.
Пусть дана приведённая система:
Метод Зейделя
и известно начальное приближение . Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1) - го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, .., xi-1.
Итерационная схема имеет вид:

Положим α = B + C, где
.
Тогда процесс Зейделя в матричном виде можно записать как:
xk+1 = B xk +1 + C xk + β

Процесс Зейделя для нормальной системы

Рассмотрим один из способов преобразования системы:
Ax = b                                 (1)

позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT
ATAx = ATb   или   Cx = d, (2)

где C = ATA; d = ATb.
Систему (2) принято называть нормальной. (Такая система получается при использовании МНК)
Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:
  1. матрица С – симметрическая;
  2. все элементы главной диагонали cij > 0;
  3. матрица С - положительно определена.

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности

Достаточные условия сходимости итерационной последовательности приближенных решений системы и оценка погрешности проводятся по тем же формулам, что и в методе простой итерации.

Пример №1. Рассмотрим вычисление двух приближений по методу Зейделя для примера, решенного выше для метода простой итерации и оценим погрешность.
Вычисления будем проводить по формулам:

Выбираем начальное приближение: и получаем:
, .
.

Пример №2. Система двух Линейных Алгебраических Уравнения (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0.001. Поменяйте порядок уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.

-4 4 -3
4 7 -4

Пример №3. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду, удобному для итерации.
3.6x1 + 1.8x2 - 4.7x3 = 3.8
2.7x1 - 3.6x2 + 1.9x3 = 0.4
1.5x1 + 4.5x2 + 3.3x3 = -1.6
Решение. Умножаем матрицы ATA.

ATA=
22,53,51-6,84
3,5136,45-0,45
-6,84-0,4536,59

Умножаем матрицы ATb.
ATb=
12,36
-1,8
-22,38

Приведем к виду:
x1=0.55+0.16x2-0.3x3
x2=-0.0494+0.0963x1-0.0123x3
x3=-0.61-0.19x1-0.0123x2
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.55 - 0 • 0.16 - 0 • (-0.3)=0.55
x2=-0.0494 - 0.55 • 0.0963 - 0 • (-0.0123)=-0.1
x3=-0.61 - 0.55 • (-0.19) - (-0.1) • (-0.0123)=-0.51
N=2
x1=0.55 - (-0.1) • 0.16 - (-0.51) • (-0.3)=0.41
x2=-0.0494 - 0.41 • 0.0963 - (-0.51) • (-0.0123)=-0.0952
x3=-0.61 - 0.41 • (-0.19) - (-0.0952) • (-0.0123)=-0.54
N=3
x1=0.55 - (-0.0952) • 0.16 - (-0.54) • (-0.3)=0.4
x2=-0.0494 - 0.4 • 0.0963 - (-0.54) • (-0.0123)=-0.0946
x3=-0.61 - 0.4 • (-0.19) - (-0.0946) • (-0.0123)=-0.54
Остальные расчеты сведем в таблицу.
N x1 x2 x3 e1 e2 e3
0 0 0 0
1 0.55 -0.1 -0.51 0.55 0.1 0.51
2 0.41 -0.0952 -0.54 -0.14 -0.0071 0.0259
3 0.4 -0.0946 -0.54 -0.00899 -0.000546 0.00167
4 0.4 -0.0946 -0.54 -0.000594 -3.7E-5 0.000111
Ответ: x1 = 0.4; x2 = -0.0946; x3 = -0.54.

Пример №4. Выполнить три итерации по методу Зейделя для системы уравнений Ax=b (не переставляя строк). В качестве начального приближения взять нулевой вектор. Изобразить графически поведение итерационного процесса. Сопоставить его сходимость с выполнением достаточных условий сходимости метода.