Метод итераций решения системы уравнений. Пример решения
Пример №1. Найти приближенное решение системы уравнений:10x1 + 2x2 - x3 = 5
-2x1 - 6x2 - x3 = 24,42
x1 - 3x2 + 12x3 = 36
методом простых итераций, сделав три итерации. Предварительно проверить достаточное условие сходимости метода простых итераций.
Решение получаем с помощью калькулятора Решение СЛАУ методом итераций
.
Достаточное условие сходимости метода простых итераций
Прежде чем применять метод итераций, необходимо переставить строки исходной системы таким образом, чтобы на диагонали стояли наибольшие по модулю коэффициенты матрицы. Если при этом условие все таки не выполняется, то иногда удается обеспечить сходимость метода с помощью следующего метода.Пусть дана система Ax = b. Преобразуем ее к виду: x= Qx + c
где Q = E - D•A, c = D•b
Здесь D - некоторая матрица. Нам необходимо подобрать такую матрицу D, чтобы выполнялось условие |Q| < 1.
Чтобы получить |Q| < 1, используем следующий способ.
Имеем СЛАУ
A x =b (1)
Предполагая, что aii ≠ 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе – относительно x2,…, n-ое уравнение – относительно xn. В результате получим:
x1=β1 - α12x2 - α13x3 - ... - α1nxn
x2=β2 - α21x1 - α23x3 - ... - α2nxn
xn=βn - αn1xn - αn3x3 - ... - αnn-1xn-1
где βi=bi/aii; αij=aij/aii при i ≠ j; αii=0
Система (2) в матричной форме имеет вид:
x=β - αx
Систему будем решать методом последовательных приближений. Пусть x0=β, тогда:
x1=b - a x0
x2=b - a x1
....
xk+1=b - a xk
Для нашей задачи достаточное условие сходимости выполняется.
| 10 | 2 | -1 |
| -2 | -6 | -1 |
| 1 | -3 | 12 |
x1=0.5-(0.2x2-0.1x3)
x2=-4.07-(0.33x1+0.17x3)
x3=3-(0.0833x1-0.25x2)
Покажем вычисления на примере нескольких итераций.
N=1
x1=0.5 - 0 • 0.2 - 0 • (-0.1)=0.5
x2=-4.07 - 0 • 0.33 - 0 • 0.17=-4.07
x3=3 - 0 • 0.0833 - 0 • (-0.25)=3
N=2
x1=0.5 - (-4.07) • 0.2 - 3 • (-0.1)=1.61
x2=-4.07 - 0.5 • 0.33 - 3 • 0.17=-4.74
x3=3 - 0.5 • 0.0833 - (-4.07) • (-0.25)=1.94
N=3
x1=0.5 - (-4.74) • 0.2 - 1.94 • (-0.1)=1.64
x2=-4.07 - 1.61 • 0.33 - 1.94 • 0.17=-4.93
x3=3 - 1.61 • 0.0833 - (-4.74) • (-0.25)=1.68
Остальные расчеты сведем в таблицу.
| N | x1 | x2 | x3 | e1 | e2 | e3 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 1 | 0.5 | -4.07 | 3 | 0.5 | 4.07 | 3 |
| 2 | 1.61 | -4.74 | 1.94 | 1.11 | 0.67 | -1.06 |
| 3 | 1.64 | -4.93 | 1.68 | 0.0274 | 0.19 | -0.26 |
| 4 | 1.65 | -4.9 | 1.63 | 0.013 | -0.0341 | -0.051 |
| 5 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -0.0119 | -0.00416 | 0.00744 |
| 6 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -8.8E-5 | -0.00273 | 0.00203 |
| 7 | 1.64 | -4.89 | 1.64 | -0.000343 | 0.00031 | 0.000691 |
Пример №2. Решить систему уравнений Ax = b с точностью 0.05 методами: 1) простой итерации; 2) Зейделя. Указание. Для обеспечения выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.