Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Найти производную Определитель матрицы
Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Точки разрыва функции
Найти интеграл Диф уравнения онлайн Метод множителей Лагранжа

Функция Лагранжа

Функция Лагранжа - функция L(X,λ), определенная выражением L(X,λ) = F(X) + ∑λiφi(x), где λi - множители Лагранжа. Функция Лагранжа используется при решении задач на условный экстремум.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор используется для нахождения экстремума функции через множители Лагранжа в онлайн режиме (см. пример и пример решения графическим способом). При этом решаются следующие задачи:

  1. составляется функция Лагранжа L(X) в виде линейной комбинации функции F(X) и ограничений gi(x);
  2. находятся частные производные функции Лагранжа, ∂L/∂xi, ∂L/∂λi;
  3. составляется система из (n + m) уравнений, ∂L/∂xi = 0.
  4. определяются переменные xi и множители Лагранжа λi.
Для онлайн решения задачи на экстремум необходимо ввести
количество ограничений, gi(x)
Также формируется шаблон решения в MS Excel.

Метод множителей Лагранжа применяется как в линейном программировании, так и в нелинейном. В экономике этот метод используется в задаче потребительского выбора.


Правило множителей Лагранжа

Если x*=(x1,..., xn) - решение задачи на условный экстремум, то существует хотя бы одна ненулевая система множителей Лагранжа λ*1,...,λm) такая, что точка (x*) является точкой стационарности функции Лагранжа по переменным xj и λi, рассматриваемым, как независимые переменные.
Метод множителей Лагранжа заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функции — функции Лагранжа.

Пример. Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
min f(x) = x12 + x22
h1(x) = 2x1 + x2 -2 = 0
Соответствующая задача оптимизации без ограничений записывается в следующем виде:
L(x, λ) = x12 + x22 + λ(2x1 + x2 – 2) → min
Решение:

Для того чтобы проверить, соответствует ли стационарная точка X минимуму, вычислим матрицу Гессе функции L(x, λ), рассматриваемой как функция от x,
,
которая оказывается положительно определенной (2*2 – 0*0 = 4 > 0).
Это означает, что L(x, λ) – выпуклая функция. Следовательно, координаты x* = (-λ, λ/2) определяют точку глобального минимума. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значений x1* иx2*в уравнение ограничений 2x1 + x2 -2 = 0,откуда вычисляем значение λ:
2λ + λ/2 = -2, откуда λ = -0.8
Таким образом, минимум достигается в точке x* с координатами x1* = 0.8 и x2* = 0.4. Значение ЦФ:
min f(x) = 0.8
Ответ: x*= [0.8; 0.4]T , f(x*) = 0.8