Примеры решений СМО с очередью Симплекс-метод Теория игр Одноканальные СМО Многоканальные СМО СМО с отказами Интенсивность нагрузки Уравнения Колмогорова Марковские процессы

Замкнутые системы массового обслуживания

Назначение. Онлайн-калькулятор предназначен для расчета показателей замкнутых систем массового обслуживания.
Инструкция. Укажите интенсивность потока заявок λ и интенсивность потока обслуживания μ. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. на примере модели обслуживания машинного парка).
Количество обслуживающих устройств, n =
Количество рабочих, R =
Интенсивность потока заявок λ: заявок в
Интенсивность потока обслуживания μ: или tобс =

см. также Многоканальные модели систем массового обслуживания

Характеристики функционирования замкнутой одноканальной СМО

№ п/пПредельные характеристикиОбозначения, формулы
1Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой каждым источником заявокρ = λ / μ
2Показатель (коэффициент) нагрузки системы, порождаемой всеми i источниками заявокiρ = iλ/μ
3Вероятность того, что рабочий свободен
4Вероятность состояний СМО, k=1,..,i
5Вероятность того, что рабочий занятрзан = 1 – р0
6Абсолютная пропускная способность СМОA = pзан μ = (1 - p0
7Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок v=A=pзанμ = (1-p0
8Относительная пропускная способностьQ = 1
9Среднее число заявок в системе (т.е. среднее число источников, находящихся в пассивном состоянии)
10Средняя интенсивность среднего суммарного входящего потока заявок Λ=(i-Nпас)·λ
11Среднее число заявок, находящихся под обслуживаниемNоб=1-p0
12Среднее число заявок, находящихся в очереди
13Коэффициент готовности – вероятность того, что произвольный источник находится в активном состоянии
14Вероятность того, что в момент поступления заявки СМО находилась в состоянии sk , k=0,..,i-1
15Среднее время ожидания заявки в очереди
16Среднее время обслуживания одной заявки
17Среднее время пребывания заявки в системеTсис=Tо+Tоб или
18Средняя производительность группы источников, находящихся в активном состоянии
19Средняя потеря производительности за счёт группы источников, находящихся в пассивном состоянии
На рис.1 показан случай с нулевой очередью (Lоч=0, LCMO=Lобсл, Tоч=0) и минимальной загрузкой рабочих (r>0, rз=Lобсл).
На рис.2 вариант с полной загрузкой рабочих (R=rз), в следствие чего образовалась очередь (Lоч>0).

Пример №1. Один ремонтный рабочий обслуживает 6 подъемных устройств на станции технического обслуживания автомобилей. Интенсивность поломок каждого устройства равна 0.1 в сутки. Среднее время, которое тратит рабочий на обслуживание одного подъемника, равно t=7 часов. Найти предельные вероятности состояний данной СМО и найти среднее число неисправных подъемников, т.е. находящихся в ремонте и ожидающих ремонта. Определить также следующие характеристики:

  1. вероятность того, что наладчик занят ремонтом подъемников;
  2. абсолютную пропускную способность СМО;
  3. относительную пропускную способность СМО;
  4. среднее число подъемников в ремонте;
  5. среднее число подъемников, ожидающих в очереди ремонта.

В калькулятор вводим следующие данные: количество обслуживающих устройств n=6, количество рабочих R=1, интенсивность потока заявок λ=0.1 (сутки);tобс=7 (час.)

Решение. Переводим интенсивность потока заявок в часы: λ = 0.1/24 = 0.00417 час.
Интенсивность потока обслуживания:
μ = 1 / 7 = 0.143
Интенсивность нагрузки: ρ = λ*tобс = 0.00417*7 = 0.0292
Определим вероятности состояния системы:
, 1 ≤ k < R
, R ≤ k ≤ n






Учитывая, что ∑pk = 1, и используя результаты расчета pk, вычислим p0:
∑pk = p0 + 0.1751p0 + 0.02556p0 + 0.00298p0 + 0.000261p0 + 1.5E-5p0 + 0p0
Откуда p0 = 0.8306
Тогда: p1 = 0.145; p2 = 0.0212; p3 = 0.00248; p4 = 0.000217; p5 = 1.3·10-5; p6 = 0;
Вероятность того, что наладчик занят ремонтом: p3ан = 1 - p0 = 1 - 0.8306 = 0.169
Значит, 17% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
1. Вероятность, что наладчик свободен: p0 = 0.8306.
2. Относительная пропускная способность: Q = pобс = 1 (в любом случае все подъемники попадут в очередь на ремонт и будут обслужены).
3. Абсолютная пропускная способность: A = pзан*λ = 0.169*0.00417 = 0.000706 заявок/час.
Среднее время простоя СМО.
tпр = pотк*tобс = 0.169*7 = 1.186 час.
Вероятность образования очереди.
pоч = p1 = 0.145
Вероятность отсутствия очереди.
p = 1 - pоч = 1 - 0.145 = 0.855
4. Среднее число подъемников, ожидающих в очереди ремонт.
Lоч = ∑(k-R)*pk = (1-1)*0.145 + (2-1)*0.0212 + (3-1)*0.00248 + (4-1)*0.000217 + (5-1)*1.3E-5 + (6-1)*0 = 0.0269
5. Среднее число подъемников, находящихся в ремонте.
Lобс = 1 - p0 = 1 - 0.8306 = 0.169
6. Среднее число подъемников в системе (на обслуживании и в очереди).

или
LCMO = Lоч + Lобс = ∑k*pk = 1*0.145 + 2*0.0212 + 3*0.00248 + 4*0.000217 + 5*1.3E-5 + 6*0 = 0.196
Коэффициент использования оборудования: I = (n - LCMO)*λ = (6 - 0.196)0.00417 = 0.0242
7. Среднее число рабочих, простаивающих из-за отсутствия заявок.
r = p0 = 0.8306
8. Среднее число рабочих, занятых обслуживанием.
rз = R - r = 1-0.8306=0.169
9. Коэффициент занятости рабочих обслуживанием.

10. Коэффициент простоя оборудования в очереди.

Коэффициент использования оборудования.

11. Коэффициент простоя рабочих.

Следовательно, система на 17% занята обслуживанием, 83% времени находится в простое.
12. Среднее время ожидания заявки в очереди (время ожидания обслуживания в очереди). час.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО.

TCMO = Tоч + Tобсл = 1.111 + 7 = 8.111 час.

Пример №2. СМО состоит из n идентичных приборов, каждый из которых выходит из строя в случайные моменты времени с интенсивностью λ. В случае выхода прибора из строя он начинает сразу восстанавливаться одним из m свободных восстанавливающих устройств (ВУ) с интенсивностью μ. Если все ВУ заняты, то прибор встает в очередь и ждет до тех пор, пока не освободится ВУ. Каждое ВУ в любой момент времени может восстанавливать не более одного прибора. Требуется оценить надежность работы системы и дать предложения по повышению эффективности ее функционирования.

Профессии будущего
РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса
Подробнее
Налоговый вычет на обучение
√ 120 тыс. руб. - максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя
Подробнее
Требуются авторы студенческих работ!
  • регулярный поток заказов;
  • стабильный доход
Подробнее