Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

f1(t) =λe-l t,(3.1)
где l - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:

f2(t) = mei (3.2)
где m - интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживании простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 3.1), у которого имеются два состояния:
S₀- канал свободен (ожидание);
S₁- канал занят (идет обслуживание заявки).

l

m
Рис. 3.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

, (3.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (3.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) + P₁(t)= 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от tи выглядит следующим образом:

(3.4)

P1(t)=1-P0(t) (3.5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P₀(t)есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, Р₀ -вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t,будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P₀(t), т.е. q-P₀(t) (3.6)
По истечении большого интервала времени (при t→∞)достигается стационарный (установившийся) режим:

(3.7)
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) —среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслужива­ния в единицу времени:

(3.8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина P_otk может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

Пример 3.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжи­тельность обслуживания — 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Р_отк.
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслужи­вался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.

Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:

Вычислим относительную пропускную способность:
q=μ/(λ+μ)=0,555/(1+0,555) = 0,356
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомо­билей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

A = λ*q = 1*0,356 = 0,356
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
3. Вероятность отказа:
P_отк=1-q = 1-0,356 = 0,644
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
4. Определим номинальную пропускную способность системы:

A_ном=1/t_обсл = 1/1,8 = 0,555 (автомобилей в час)
Оказывается, что A_ном в 1,5 раза больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.