Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания
Простейшая одноканальная модель .Такой моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет видf1(t) =λe-l t,(3.1)
где l - интенсивность поступления заявок в систему.
Плотность распределения длительностей обслуживания:
f2(t) = mei (3.2)
где m - интенсивность обслуживания.
Потоки заявок и обслуживании простейшие.
Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.
Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 3.1), у которого имеются два состояния:
S0- канал свободен (ожидание);
S1- канал занят (идет обслуживание заявки).
m
Рис. 3.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами
P0(t)- вероятность состояния «канал свободен»;
P1(t)- вероятность состояния «канал занят».
По размеченному графу состояний (рис. 3.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:
, (3.3)
Система линейных дифференциальных уравнений (3.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P0(t) + P1(t)= 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от tи выглядит следующим образом:
(3.4)
P1(t)=1-P0(t) (3.5)
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t)есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.
Действительно, Р0 -вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t,будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т.е. q-P0(t) (3.6)
По истечении большого интервала времени (при t→∞)достигается стационарный (установившийся) режим:
(3.7)
Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) —среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:
(3.8)
Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:
Данная величина Potk может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.
Пример 3.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей l = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания — 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:
относительной пропускной способности q;
абсолютной пропускной способности А;
вероятности отказа Ротк.
Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслуживался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.
Решение
1. Определим интенсивность потока обслуживания:
Вычислим относительную пропускную способность:
q=μ/(λ+μ)=0,555/(1+0,555) = 0,356
Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 35% прибывающих на пост ЕО автомобилей.
3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:
A = λ*q = 1*0,356 = 0,356
Это означает, что система (пост ЕО) способна осуществить в среднем 0,356 обслуживания автомобилей в час.
3. Вероятность отказа:
Pотк=1-q = 1-0,356 = 0,644
Это означает, что около 65% прибывших автомобилей на пост ЕО получат отказ в обслуживании.
4. Определим номинальную пропускную способность системы:
Aном=1/tобсл = 1/1,8 = 0,555 (автомобилей в час)
Оказывается, что Aном в 1,5 раза 
больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и времени обслуживания.
