Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как и в случае линейных уравнений высших порядков, наиболее полно разработаны вопросы нахождения фундаментальной системы решений для однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(5.45)

или в матричной форме

y'=Ay. (5.45а)

Будем искать решение системы (5.45) в виде

y=αe^rt = (α₁, α₂,.., α_n)^Te^rt = (α₁e^rt, α₂e^rt,.., α_ne^rt)^T (5.46)

Подставив это решение в (5.45), получаем равенство αre^rt =Aαe^rt, откуда, сокращая на e^rt, можем записать αr = Aα или Aα-αr= Aα-Eαr = (A - rE)α =0. Последнее соотношение (A - rE)α =0 есть система для нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы A. Таким образом, y=αe^rt - решение системы (5.45) тогда, когда r- собственное число, а α - ему соответствующий собственный вектор матрицы A. Возможны два случая: 1) все собственные числа различны; 2) есть кратные собственные числа. Разберём эти возможности по отдельности.

В первом случае имеем n решений

Эта система функций линейно независима, так как её определитель Вронского отличен от нуля. Действительно,

Так как система векторов α¹, α²,.., αⁿ линейно независима, то получим n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Во втором случае возможны два варианта. Пусть для собственного числа r_j кратности k имеется линейно независимых собственных векторов α^j1, α^j2,.., α^jk Этот вариант ничем не отличается от предыдущего случая. Во втором варианте для собственного числа r_j кратности k имеется меньше чем k линейно независимых собственных векторов. Имеется два способа получения совокупности n линейно независимых решений однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Первый основан на приведении матрицы к жордановой форме и изложен в [9,10]. Второй называется методом Эйлера и заключается в том, что для собственного числа r_j соответствующие решения находятся в виде y=P_k-1(t)e^rjt где P_k-1(t) - вектор-функция, каждая координата которой есть полином степени не выше k-1 с неопределёнными коэффициентами, подлежащими определению. Подставляя это решение в (5.45), получаем соотношения для определения коэффициентов вектор-функции P_k-1(t).

Примеры

1. Для линейной системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ₁=3 с соответствующим собственным вектором p₁=(-1,1,3)^T и λ_2,3=-1 кратности 2 с собственными векторами p₂=(1,1,0)^T и p₃=(2,0,-1)^T. Поэтому фундаментальная система решений состоит из функций p₁e^3t, p₂e^-t, p₃e^-t, а общее решение имеет вид

.

2. Для системы дифференциальных уравнений матрица имеет собственные числа λ₁=3 с соответствующим собственным вектором p₁=(0,2,1)^Tи λ_2,3=-1 кратности 2, которому соответствует только один собственный вектор p₂ = (-1,2,1)^T. Поэтому линейно независимые решения, соответствующие собственному числу λ_2,3=-1, ищем в виде

.

Подставляя эти соотношения в исходную систему и приводя подобные, получаем систему алгебраических уравнений

для нахождения чисел a,b,q,n,s,r. Решая эту систему, имеем b=-r,q=-2a, n=2r, s =r-a. Придавая свободным неизвестным значения a=C₂, r=C₃ получаем общее решение исходной системы дифференциальных уравнений

.