Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y1,y2,.., yn - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции yj, j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C'j(x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y1,y2,..,yn соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C'j(x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и Cj(x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Максимальная степень производной

Пример №1. Найдём общее решение уравнения y'' + 4y' + 3y = 9e-3x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y'' + 4y' + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1 = e-x и y2 = e-3x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C1(x)e-x + C2(x)e-3x. Для нахождения производных C'1, C'2 составляем систему уравнений (8)
C′1·e-x+C′2·e-3x=0
-C′1·e-x-3C′2·e-3x=9e-3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Скачать пример решения
см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн

Пример №2. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r1 = 4, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e4x, y2=e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=C1·e4x+C2·e2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений:
C′1·e4x+C′2·e2x=0
C′1(4e4x) + C′2(2e2x) = 4/(2+e-2x)
Выразим C'1 из первого уравнения:
C'1 = -c2e-2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'1 = 2/(e2x+2e4x)
C'2 = -2e2x/(e2x+2e4x)
Интегрируем полученные функции C'i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e2x +1) – 2x+ C*2

Поскольку y=C1·e4x+C2·e2x, то записываем полученные выражения в виде:
C1 = (2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1) e4x = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + C*1 e4x
C2 = (ln(2e2x +1) – 2x+ C*2)e2x = e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + C*1 e4x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
или
y = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*1 e4x + C*2 e2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C*1 + C*2 = 3 ln(3) - 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e2x(2C1 e2x + C2 -2x +4 e2x ln(e-2x +2)+ ln(2e2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C1 + C2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) - 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Откуда: C1 = 0, C*2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e4x·ln(e-2x +2) - e2x + e2x·ln(2e2x+1) – 2x·e2x + 2·e2x