Эллипс
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Решить онлайн
Профессии будущего
РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса
Подробнее
Налоговый вычет на обучение
√ 120 тыс. руб. - максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя
Подробнее
Требуются авторы студенческих работ!
  • регулярный поток заказов;
  • стабильный доход
Подробнее
Учебно-методический
  • курсы переподготовки и повышения квалификации;
  • вебинары;
  • сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Яндекс 360 для бизнеса
  • Бесконечный почтовый ящик;
  • Объем облачного хранилища от 100 Гб;
  • Загрузка больших файлов — от 1 ГБ
  • Поддержка файлов MS Office
  • Трансляции и их планирование в календаре
Подробнее
Болит горло
Как быстро вылечить ангину, гланды, тонзиллит
Природные средства, проверенные временем и врачами
Подробнее
ЕГЭ по математике
Yandex.Просвещение представляет бесплатные видеокурсы по ЕГЭ с возможностью прохождения тестов
Подробнее
Эллипс
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Решить онлайн
Парабола
d F
Как построить параболу. Каноническое уравнение параболы
Построить
Гипербола
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить гиперболу. Каноническое уравнение гиперболы
Построить
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
Подробнее
Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.
Подробнее
Онлайн-университет
Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа
Программа курсов
Редактор формул онлайн
Удобный редактор формул для Word, Latex и Web.
Редактор формул онлайн
Подробнее
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение
. (2)
Пусть y1,y2,.., yn - фундаментальная система решений, а - общее решение соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Аналогично случаю уравнений первого порядка, будем искать решение уравнения (2) в виде
. (3)
Убедимся в том, что решение в таком виде существует. Для этого подставим функцию в уравнение. Для подстановки этой функции в уравнение найдём её производные. Первая производная равна
. (4)
При вычислении второй производной в правой части (4) появится четыре слагаемых, при вычислении третьей производной - восемь слагаемых и так далее. Поэтому, для удобства дальнейшего счёта, первое слагаемое в (4) полагают равным нулю. С учётом этого, вторая производная равна
. (5)
По тем же, что и раньше, соображениям, в (5) также полагаем первое слагаемое равным нулю. Наконец, n-я производная равна
. (6)
Подставляя полученные значения производных в исходное уравнение, имеем
. (7)
Второе слагаемое в (7) равно нулю, так как функции yj, j=1,2,..,n, являются решениями соответствующего однородного уравнения L(y)=0. Объединяя с предыдущим, получаем систему алгебраических уравнений для нахождения функций C'j(x)
(8)
Определитель этой системы есть определитель Вронского фундаментальной системы решений y1,y2,..,yn соответствующего однородного уравнения L(y)=0 и поэтому не равен нулю. Следовательно, существует единственное решение системы (8). Найдя его, получим функции C'j(x), j=1,2,…,n, а, следовательно, и Cj(x), j=1,2,…,n Подставляя эти значения в (3), получаем решение линейного неоднородного уравнения.
Изложенный метод называется методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.
Максимальная степень производной

Пример №1. Найдём общее решение уравнения y'' + 4y' + 3y = 9e-3x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y'' + 4y' + 3y = 0. Корни его характеристического уравнения r2 + 4r + 3 = 0 равны -1 и -3. Поэтому фундаментальная система решений однородного уравнения состоит из функций y1 = e-x и y2 = e-3x. Решение неоднородного уравнения ищем в виде y = C1(x)e-x + C2(x)e-3x. Для нахождения производных C'1, C'2 составляем систему уравнений (8)
C′1·e-x+C′2·e-3x=0
-C′1·e-x-3C′2·e-3x=9e-3x
решая которую, находим , Интегрируя полученные функции, имеем
Окончательно получим

Скачать пример решения
см. также Решение линейных дифференциальных уравнений онлайн

Пример №2. Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Решение:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 4·1·8 = 4

Корни характеристического уравнения: r1 = 4, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1=e4x, y2=e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид: y=C1·e4x+C2·e2x
Поиск частного решения методом вариации произвольной постоянной.
Для нахождения производных C'i составляем систему уравнений:
C′1·e4x+C′2·e2x=0
C′1(4e4x) + C′2(2e2x) = 4/(2+e-2x)
Выразим C'1 из первого уравнения:
C'1 = -c2e-2x
и подставим во второе. В итоге получаем:
C'1 = 2/(e2x+2e4x)
C'2 = -2e2x/(e2x+2e4x)
Интегрируем полученные функции C'i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e2x +1) – 2x+ C*2

Поскольку y=C1·e4x+C2·e2x, то записываем полученные выражения в виде:
C1 = (2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1) e4x = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + C*1 e4x
C2 = (ln(2e2x +1) – 2x+ C*2)e2x = e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + C*1 e4x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*2 e2x
или
y = 2 e4x ln(e-2x +2) - e2x + e2x ln(2e2x +1) – 2x e2x + C*1 e4x + C*2 e2x

Найдем частное решение при условии:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Подставляя x = 0, в найденное уравнение, получим:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C*1 + C*2 = 3 ln(3) - 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
Находим первую производную от полученного общего решения:
y’ = 2e2x(2C1 e2x + C2 -2x +4 e2x ln(e-2x +2)+ ln(2e2x +1)-2)
Подставляя x = 0, получим:
y’(0) = 2(2C1 + C2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Получаем систему из двух уравнений:
3 ln(3) - 1 + C*1 + C*2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
или
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
или
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Откуда: C1 = 0, C*2 = 2
Частное решение запишется как:
y = 2e4x·ln(e-2x +2) - e2x + e2x·ln(2e2x+1) – 2x·e2x + 2·e2x

Каталог онлайн калькуляторов
Онлайн-калькуляторы по математике, экономике, экологии, информатике и другим дисциплинам
Онлайн-университет
Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа
Программа курсов
Редактор формул онлайн
Удобный редактор формул для Word, Latex и Web.
Редактор формул онлайн
Подробнее
Финансовый анализ онлайн
Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия:
· Оценка имущественного положения
· Анализ ликвидности и платежеспособности
· Анализ финансовой устойчивости
· Анализ рентабельности и оборачиваемости
· Анализ движения денежных средств
· Анализ финансовых результатов и многое другое
Подробнее
Производная функции
Производная функции, заданная параметрически
x=2t+t2
y=t2-2t3
Решение
Решить онлайн
Упростить логическое выражение
Решение по шагам
(a→c)→ba
Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.
Замена импликации: A → B = A v B
Решение онлайн
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
Подробнее
Инвестиции с JetLend

Удобный сервис для инвестора и заемщика. Инвестируйте в лучшие компании малого бизнеса по ставкам от 16,9% до 37,7% годовых.
Подробнее
Онлайн-университет
Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа
Программа курсов
Редактор формул онлайн
Удобный редактор формул для Word, Latex и Web.
Редактор формул онлайн
Подробнее
Финансовый анализ онлайн
Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия:
· Оценка имущественного положения
· Анализ ликвидности и платежеспособности
· Анализ финансовой устойчивости
· Анализ рентабельности и оборачиваемости
· Анализ движения денежных средств
· Анализ финансовых результатов и многое другое
Подробнее
Аннуитетные платежи онлайн
Расчет аннуитетных платежей по схеме постнумерандо и пренумерандо с помощью удобного калькулятора.
Аннуитетные платежи онлайн
Подробнее
Профессии будущего
РБК Тренды изучили прогнозы российских и зарубежных футурологов, и составили список самых востребованных профессий в ближайшие 30 лет. Это профессии из 19 отраслей: от медицины и транспорта до культуры и космоса
Подробнее
Налоговый вычет на обучение
√ 120 тыс. руб. - максимальная сумма расходов на обучение
√ вычет от государства
√ вычет от работодателя
Подробнее
Требуются авторы студенческих работ!
  • регулярный поток заказов;
  • стабильный доход
Подробнее
Учебно-методический
  • курсы переподготовки и повышения квалификации;
  • вебинары;
  • сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Яндекс 360 для бизнеса
  • Бесконечный почтовый ящик;
  • Объем облачного хранилища от 100 Гб;
  • Загрузка больших файлов — от 1 ГБ
  • Поддержка файлов MS Office
  • Трансляции и их планирование в календаре
Подробнее
Болит горло
Как быстро вылечить ангину, гланды, тонзиллит
Природные средства, проверенные временем и врачами
Подробнее
ЕГЭ по математике
Yandex.Просвещение представляет бесплатные видеокурсы по ЕГЭ с возможностью прохождения тестов
Подробнее
Степенной ряд
Интервал сходимости степенного ряда:
Решение онлайн
График функции
Построение графика функции методом дифференциального исчисленияПостроение графика функции методом дифференциального исчисления
Решить онлайн
Этот сайт использует cookie для сбора статистики по посещаемости. Отключить их можно, изменив настройки используемого вами браузера
Курсовые на заказ