Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Собраны наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика.
Подробнее
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн Уравнения Бернулли xydx + (x+1)dy = 0 y'' - 3y' + 2y = 0 (y')2+2yy'' = 0 Диф уравнения онлайн Системы дифф уравнений Метод вариации постоянной

Решение линейных дифференциальных уравнений

Назначение сервиса. Данный онлайн-калькулятор служит для решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами вида ay(n)+by+c=R(x). Например, y''-2y=0, 2y''+y'-2y=x2. Решение оформляется в формате Word. Для решения уравнений вида y'+x*y=x2 используйте этот калькулятор.
Инструкция. Для получения онлайн решения введите максимальную степень производной n. Например, для дифференциального уравнения y''-2y=0 максимальная степень равна двум, поэтому n=2, для y'''-2y''-y=0 степень равна трем (n=3).
Максимальная степень производной

Пример 1. Общее решение дифференциального уравнения с правой частью:

y'' + py' + qy = R(x)
получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части
y'' + py' + qy = 0
где R(x) = eαx[P1(x)cos(βx) + P2sin(βx)]

1. Для уравнения y''' - 4y'' + 5y' – 2y = 2x+3 корнями характеристического уравнения r3 – 4r2 + 5r – 2 = 0 являются r=2 кратности 1 и r=1 кратности 2. Следовательно α+β i=0 и не является корнем характеристического уравнения. Поэтому k=0 и частное решение ищем в виде y = cx + d. Так как y’ = 0, y’’ = 0, y’’’ = 0, то, подставляя в уравнение, получаем 5c - 2cx - 2d = 2x + 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем -2c = 2. -5c – 2d = 3. Следовательно, c=-1, d= -4 и y = -x-4 - частное, а y = -x-4+C1ex + C2e2x - общее решения уравнения.

2. Для уравнения y''' - 4y'' + 5y' – 2y = (2x+3)e2x число α+β i=2 является корнем характеристического уравнения кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y = x(cx + d)e2x.

3. Для уравнения y’’ + y = cos(x) корнями характеристического полинома r2+1 являются числа r = ±i кратности 1. Поэтому частное решение ищем в виде y=x(a1cosx + a2 sinx). Тогда
y’ = (a1 + a2x)cosx + (a2 – a1x)sinx,
y’’ = (2a2 – a1x)cosx + (-2a1-a2x)sinx
Подставляя в исходное уравнение и приводя подобные, получаем 2a2 cosx – 2a1sinx = cosx, откуда a1 = 0;a2=0,5.

4. Найти общее решение уравнения:

y'' - 3y' + 2y = x2 + 3x

Находим решение однородного уравнения y'' - 3y' + 2y = 0.
Характеристическое уравнение: r2-3r+2=0 имеет корни r1= 1, r2= 2.
Общее решение уравнения без правой части равно: yОбщ = C1ex + C2e2x
Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)eαx, причем P(x) = x2 + 3x и число α = 0 не является корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида:
y* = Ax2 + Bx + C
Находим y'',y', которые подставляем в равенство:
2Ax2 + (2B - 6A)x + 2C - 3B + 2A = x2 + 3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
2A = 1; 2B - 6A = 3; 2C - 3B + 2A = 0,
из которых находим: A = 1/2, B = 3, C = 4, так что
y* = x2/2 + 3x + 4
Общее решение дифференциального уравнения есть:
y = yОбщ + y*= C1ex + C2e2x + x2/2 + 3x + 4

5. Найти общее решение уравнения: y'' - 3y' = x2 + 3x
Характеристическое уравнение: r2 - 3r = 0 имеет корни r1= 3, r2= 0.
Общее решение уравнения без правой части равно:

yОбщ = C1e3x + C2e0 = C1e3x + C2
Правая часть уравнения имеет вид R(x) = P(x)eαx, причем P(x) = x2 + 3x и число α = 0 является однократным корнем характеристического уравнения. Ищем решение вида:
y* = x(Ax2 + Bx + C)
Находим y'',y', которые подставляем в равенство y'' - 3y' = x2 + 3x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему:
-9A = 1, -6B + 6A = 3, -3C + 2B = 0,
из которых находим: A = -1/9, B = -11/18, C = -11/27, так что
y* = x2/9 - 11x/18 -11/27
Общее решение дифференциального уравнения есть:
y = yОбщ + y*= C1e3x + C2 + x2/9 - 11x/18 -11/27

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение 8y'' +2y' - 3y = 0.
Решение. Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
8r2 +2r - 3 = 0
D = 22 - 4·8·(-3) = 100
,
Корни характеристического уравнения: r1 = 1/2, r2 = -3/4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e1/2x, y2 = e-3/4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = -6, y'(0) = 7
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = -6
Находим первую производную:
y' = 1/2•c1•e1/2•x-3/4•c2•e-3/4•x
Поскольку y'(0) = 1/2•c1-3/4•c2, то получаем второе уравнение:
1/2•c1-3/4•c2 = 7
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = -6
1/2•c1-3/4•c2 = 7
которую решаем или методом матриц или методом исключения переменных.
c1 = 2, c2 = -8
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

см. также Дифференциальные уравнения. Пример решения.

Если правая часть уравнения отлична от нуля, то решение ищется по формуле: R(x)=eαx(P1cos(βx)+P2sin(βx))

R(x) Форма записи решения
10•x•e2x (Ax + B)e2x
x•e-x•cos(3x) e-x((Ax+B)cos(3x)+(Cx+D)sin(3x))
(x3-x2+3)cos(x)-x•sin(x) (Ax3+Bx2+Cx+D)cos(x)+(Ex3+Fx2+Gx+H)sin(x)
cos(x) Acos(x) + Bsinx(x)
x•sin(x) (Ax + B)cos(x) + (Cx + D)sinx(x)
x3-x2+3 Ax3+Bx2+Cx+D