Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Собраны наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика.
Подробнее
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн Уравнения Бернулли xydx + (x+1)dy = 0 y'' - 3y' + 2y = 0 (y')2+2yy'' = 0 Диф уравнения онлайн Системы дифф уравнений Метод вариации постоянной

Линейные уравнения первого порядка

Уравнение первого порядка вида a1(x)y' + a0(x)y = b(x) называется линейным дифференциальным уравнением. Если b(x) ≡ 0 то уравнение называется однородным, в противном случае - неоднородным. Для линейного дифференциального уравнения теорема существования и единственности имеет более конкретный вид.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений вида y'+y=b(x).

=
Использовать замену переменных y=u*v
Использовать метод вариации произвольной постоянной
Находить частное решение при y() = .
Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y' + a0(x)y = b(x). Например, для y'-exp(x)=2*y это будет y'-2*y=exp(x).

Теорема. Пусть a1(x), a0(x), b(x) непрерывны на отрезке [α,β], a1≠0 для ∀x∈[α,β]. Тогда для любой точки (x0, y0), x0∈[α,β], существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию y(x0) = y0 и определенное на всем интервале [α,β].
Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a1(x)y'+a0(x)y=0.
Разделяя переменные, получаем , или, интегрируя обе части, Последнее соотношение, с учетом обозначения exp(x) = ex, записывается в форме

Попытаемся теперь найти решение уравнения в указанном виде, в котором вместо константы C подставлена функция C(x) то есть в виде

Подставив это решение в исходное, после необходимых преобразований получаем Интегрируя последнее, имеем

где C1- некоторая новая константа. Подставляя полученное выражение для C(x), окончательно получаем решение исходного линейного уравнения
.

Описанный метод решения называется методом Лагранжа или методом вариации произвольной постоянной (см. также Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений).

Пример. Решить уравнение y' + 2y = 4x. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y' + 2y = 0. Решая его, получаем y = Ce-2x. Ищем теперь решение исходного уравнения в виде y = C(x)e-2x. Подставляя y и y' = C'(x)e-2x - 2C(x)e-2x в исходное уравнение, имеем C'(x) = 4xe2x, откуда C(x) = 2xe2x - e2x + C1 и y(x) = (2xe2x - e2x + C1)e-2x = 2x - 1 + C1e-2x - общее решение исходного уравнения. В этом решении y1(x) = 2x-1 - движение объекта под действием силы b(x) = 4x, y2(x) = C1e-2x -собственное движение объекта.

Пример №2. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка y'+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin22x.
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u•v, y' = u'v + uv'.
3u v tg(3x)+u v'+u' v = 2cos(3x)/sin22x или u(3v tg(3x)+v') + u' v= 2cos(3x)/sin22x
Решение состоит из двух этапов:
1. u(3v tg(3x)+v') = 0
2. u'v = 2cos(3x)/sin22x
1. Приравниваем u=0, находим решение для 3v tg(3x)+v' = 0
Представим в виде: v' = -3v tg(3x)

Интегирируя, получаем:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Зная v, Находим u из условия: u'v = 2cos(3x)/sin22x
u' cos(3x) = 2cos(3x)/sin22x
u' = 2/sin22x
Интегирируя, получаем:
Из условия y=u•v, получаем:
y = u•v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) или y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)