Эллипс
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Решить онлайн
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн Уравнения Бернулли xydx + (x+1)dy = 0 y'' - 3y' + 2y = 0 (y')2+2yy'' = 0 Диф уравнения онлайн Системы дифф уравнений Метод вариации постоянной

Однородные дифференциальные уравнения

Если уравнение удается преобразовать к виду , то это уравнение называется однородным. Нетрудно показать, что уравнение в дифференциальной форме M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени.
Напомним, что функция F(x1,x2,..,xn) называется однородной степени k, если для неё выполнено соотношение F(tx1,tx2,..,txn)=tk F(x1,x2,..,xn).

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = xu, или, что тоже самое, , где u новая искомая функция. Действительно, тогда y' = u + u'x и исходное уравнение может быть переписано в виде u + u'x = f(u), или u'x = f(u)u. Из последнего при f(u)u можем записать .

Пример. Решить уравнение (y2 - 2xy)dx + x2dy = 0. Это однородное уравнение, так как y2 - 2xy и x2 однородные функции второй степени. Делаем замену y = xu, dy = udx + xdu. Подставляя в уравнение, имеем

(x2u2 - 2x2u)dx + x2(udx + xdu) = 0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x2, получаем уравнение с разделяющимися переменными

(u2 - u)dx + xdu = 0

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем lnu - ln(u-1) = lnx + lnC. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к ex), можем записать или, делая обратную замену , получаем общий интеграл уравнения

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых a1x + b1y +c1 = 0, a2x + b2y +c2 = 0, если определитель отличен от нуля, и заменой a1x + b1y = z, если этот определитель равен нулю.

Решить однородные уравнения онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

Пример №1.

-x-2·y+y·(4·x-y-3)+3=0

В однородном уравнении делаем замену переменных:
x=t+1
,
dx=dt

y=w+1
,
dy=dw

Тогда:

Представим в виде:
2·w+w·(-4·t+w)=-t

Сделаем замену переменных: w=u*t, w' = u't + u.
2·u·t+(u+u·t)·(u·t-4·t)=-t

или
u2·t+u·u·t2-2·u·t-4·u·t2=-t

Представим в виде:

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:


Учитывая, что w = u*t, u=w/t получаем:

С учетом того, что:
t=x-1
,
w=y-1

Получаем:

Пример №2.
Делаем замену переменных:

x+2·y=w

Тогда:
w=y+1


Это однородное уравнение. Представим его в виде:

или

Интегрируя, получаем:


С учетом того, что:
w=x+2·y

Получаем:


Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения онлайн
Упростить логическое выражение
Решение по шагам
(a→c)→ba
Упростим функцию, используя основные законы логики высказываний.
Замена импликации: A → B = A v B
Решение онлайн
Учебно-методический
√ курсы переподготовки и повышения квалификации
√ вебинары
√ сертификаты на публикацию методического пособия
Подробнее
Библиотека материалов
√ Общеобразовательное учреждение
√ Дошкольное образование
√ Конкурсные работы
Все авторы, разместившие материал, могут получить свидетельство о публикации в СМИ
Подробнее
Курсовые на заказ