Примеры задач для одноканальных СМО
Перейти к онлайн решению своей задачиОдноканальная СМО с отказами в обслуживании
1. Пункт по ремонту радиотехники работает в режиме отказа с одним мастером. Интенсивность потока заявок λ, производительность мастера μ. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятность отказа Ротк телефонной линии. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.
Скачать решение
2. Статистическими исследованиями в результате наблюдения установлено, что интенсивность потока телефонных звонков коммерческому директору λ = 1.2 вызова в минуту, средняя продолжительность разговора (обслуживания заявки) tобсл = 2.5 мин и все потоки событий (вызовов и обслуживания) имеют характер простейших пуассоновских потоков.
Определим предельную (относительную и абсолютную) пропускную способность СМО, вероятность отказа, а также полное число обслуженных и необслуженных (получивших отказ) заявок в течение 1 ч работы СМО. Сравнить фактическую пропускную способность СМО с номинальной, т.е. с пропускной, способностью, которой обладала бы система в том случае, если бы каждая заявка обслуживалась ровно 2,5 мин и все заявки следовали бы одна за другой без перерыва.
Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 1.2 ед. в мин.; t = 2.5 мин. или μ = 0.4 заявки в мин.
3. Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут.
Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.
n=1, m=3, λ=2, μ=8.
Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
1. В магазине самообслуживания установлено, что поток покупателей является простейшим с интенсивностью λ = 2 покупателя в минуту. В этом магазине установлен один кассовый аппарат, позволяющий добиться такой производительности труда, при которой интенсивность потока обслуживания составляет величину μ = покупателя в минуту. Определим характеристики СМО при условии, что очередь ограничена контролером при входе в зал самообслуживания: m = 5 покупателям.
2. На автомойку в среднем за час приезжают три автомобиля, если в очереди уже находятся два автомобиля, то вновь подъезжающие автомобили не желают терять время в ожидании обслуживания и покидают мойку, поскольку среднее время мойки одного автомобиля составляет 20 мин, а мест для мойки всего одно. Необходимо провести анализ работы системы обслуживания с 9-00 до 21-00 ч, если средняя стоимость мойки одного автомобиля составляет 70 руб.
Рекомендации к решению задачи: здесь m = 2; λ = 3 ед. в час.; tобс = 20 мин.
3. Провести анализ работы в СМО при изменении одного условия в примере 2 - интенсивности приезда автомобилей на мойку до 6 автомобилей в час.
Рекомендации к решению задачи: здесь m = 2; λ = 6 ед. в час.; tобс = 20 мин.
4. Рабочий обслуживает m станков. Поток требований на обслуживание пуассоновский с параметром λ станков в час. Время обслуживания одного станка подчинено экспоненциальному закону. Среднее время обслуживания одного станка равна μ минут.
Определить: 1) среднее число станков, ожидающих обслуживания, 2) коэффициент простоя станка, 3) коэффициент простоя рабочего.
Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Пример. Железнодорожная сортировочная горка, на которую подается простейший поток составов с интенсивностью λ состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет показательное распределение со средним значением t минут. Найти: а) предельные вероятности состояний СМО; б) среднее число составов, связанных с горкой; в) среднее число составов в очереди; г) среднее время пребывания состава в СМО; д) среднее время пребывания состава в очереди.Решение. Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:
Интенсивность потока обслуживания:
μ =60/20 = 3
1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • tобс = 2 • 20/60 = 0.67
Интенсивность нагрузки ρ=0.67 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Поскольку ρ < 1, то очередь не будет расти бесконечно, следовательно, предельные вероятности существуют.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).
p0 = 1 - ρ = 1 - 0.67 = 0.33
Следовательно, 33% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 20 мин.
Вероятность того, что в очереди:
1 заявка:
p1 = ρ(1 - ρ) = 0.671(1 - 0.67) = 0.22
4. Доля заявок, получивших отказ.
p1 = 1 - p0 = 1 - 0.33 = 0.67
Значит, 67% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Относительная пропускная способность.
Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому Q = pобс = 1.
6. Абсолютная пропускная способность.
A = Q • λ = 1 • 2 = 2 заявок/час.
8. Среднее число составов в очереди (средняя длина очереди).
Lоч = ρ2/(1 - ρ) = 0.672/(1 - 0.67) = 1.33
9. Среднее время пребывания состава в очереди (среднее время ожидания обслуживания состава в очереди).
Tоч = Lоч/A) = 1.33/2 = 0.66 час.
10. Среднее число обслуживаемых заявок.
Lоб = ρ = 0.67
12. Среднее число составов, связанных с горкой.
LCMO = Lоч + Lобс = 1.33 + 0.67 = 2 ед.
13. Среднее время пребывания состава в СМО.
TCMO =LCMO/A = 2/2 = 1 час
1. Булочная «Горячий хлеб» имеет одного контролера-кассира. В течение часа приходят в среднем 54 покупателя. Средняя" стоимость одной покупки составляет 7 руб. Среднее время обслуживания контролером-кассиром одного покупателя составляет 1 мин. Определим выручку от продажи, характеристики СМО и проведем анализ ее работы.
Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 54 ед. в час.; μ = 60 ед. в час.
2. Интенсивность потока автомобилей на АЗС к колонке за бензином АИ-92 составляет 30 автомобилей в 1 ч, а среднее время заправки равно 5 мин. Проведем анализ работы системы массового обслуживания АЗС.
Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 2.4 ед. в час.; tобс = 20 мин.
3. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую - с 15 до 21, работают по одному мастеру. Провести анализ работы системы обслуживания.
Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 30 ед. в час.; tобс = 5 мин.
В качестве количества заявок в очереди можно указать, например, m = 4. тогда будут рассчитаны соответствующие вероятность появления данных заявок.
4. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Рекомендации к решению задачи: здесь λ = 0.4 ед. в час.; tобс = 2 час, m = 2.
После получения решения единицы измерения "час" следует заменить на "сутки".
