Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Найти интеграл Формула Байеса
Система СВ X,Y Уравнение регрессии Проверка гипотезы
Корреляционная таблица Формула Бернулли Математическое ожидание

Интегральная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
Pn = (k1 ≤ k ≤ k2) ≈ Ф(x1)-Ф(x2)
Здесь
Таблица значений функции Лапласа для положительных значений x (0 ≤ x ≤ 5); для значений x > 5 полагают Ф(x) = 0,5. Для отрицательных значений x используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная: Ф(-x) = -Ф(x).
Событие может наступить раз. Вероятность наступления этого события равна . Найти вероятность того, что событие:
наступит раз;
менее раз;
не менее раз;
более раз;
не более раз;
не менее и не более раз;
наступит хотя бы один раз.
Выводить в отчет:
Наивероятнейшее число;
Вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на .

Пример №1. В каждом из 500 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найдите вероятность того, что событие A происходит: а) ровно 220 раз; б) ровно 190 раз; в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз; г) меньше чем 235 раз.
Решение. При решении этой задачи используем теоремы Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).
а) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 220.
Найдем P500(220).
Имеем:
Значение функции φ(x) найдем из таблицы:

б) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 190.
Найдем P500(190).
Получаем:
в) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 180, b = 240.
Найдем P500(180 < k < 240).
Имеем:
г) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 0, b = 235.
Найдем P500(k < 235).
Имеем:

Пример №2. В жилом доме имеется n ламп. Вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0.5. найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет заключено между m1 и m2.