Аналитическое выравнивание ряда по параболе
Уравнение тренда имеет вид y = at2 + bt + c.Точечный коэффициент эластичности:
. Средний коэффициент эластичности: 
.
Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание
.
Система уравнений
Для наших данных система уравнений имеет вид
Получаем a0 = 0.38, a1 = -11.36, a2 = 102.76
Уравнение тренда: y = 0.38t2-11.36t+102.76
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия параболической функции
Среднеквадратическое отклонение
Индекс детерминации
т.е. в 92.61 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая
| t | y | t2 | y2 | t·y | y(t) | (y-y)2 | (y-y(t))2 | (t-tp)2 | (y-y(t)) : y | t3 | t4 | t2 y |
| 1 | 80 | 1 | 6400 | 80 | 91.78 | 1653.78 | 138.77 | 72.25 | 942.4 | 1 | 1 | 80 |
| 2 | 79 | 4 | 6241 | 158 | 81.56 | 1573.44 | 6.55 | 56.25 | 202.24 | 8 | 16 | 316 |
| 3 | 75 | 9 | 5625 | 225 | 72.1 | 1272.11 | 8.41 | 42.25 | 217.5 | 27 | 81 | 675 |
| 4 | 70 | 16 | 4900 | 280 | 63.4 | 940.44 | 43.56 | 30.25 | 462 | 64 | 256 | 1120 |
| 5 | 65 | 25 | 4225 | 325 | 55.46 | 658.78 | 91.01 | 20.25 | 620.1 | 125 | 625 | 1625 |
| 6 | 60 | 36 | 3600 | 360 | 48.28 | 427.11 | 137.36 | 12.25 | 703.2 | 216 | 1296 | 2160 |
| 7 | 39 | 49 | 1521 | 273 | 41.86 | 0.11 | 8.18 | 6.25 | 111.54 | 343 | 2401 | 1911 |
| 8 | 35 | 64 | 1225 | 280 | 36.2 | 18.78 | 1.44 | 2.25 | 42 | 512 | 4096 | 2240 |
| 9 | 30 | 81 | 900 | 270 | 31.3 | 87.11 | 1.69 | 0.25 | 39 | 729 | 6561 | 2430 |
| 10 | 25 | 100 | 625 | 250 | 27.16 | 205.44 | 4.67 | 0.25 | 54 | 1000 | 10000 | 2500 |
| 11 | 20 | 121 | 400 | 220 | 23.78 | 373.78 | 14.29 | 2.25 | 75.6 | 1331 | 14641 | 2420 |
| 12 | 10 | 144 | 100 | 120 | 21.16 | 860.44 | 124.55 | 6.25 | 111.6 | 1728 | 20736 | 1440 |
| 13 | 13 | 169 | 169 | 169 | 19.3 | 693.44 | 39.69 | 12.25 | 81.9 | 2197 | 28561 | 2197 |
| 14 | 19 | 196 | 361 | 266 | 18.2 | 413.44 | 0.64 | 20.25 | 15.2 | 2744 | 38416 | 3724 |
| 15 | 29 | 225 | 841 | 435 | 17.86 | 106.78 | 124.1 | 30.25 | 323.06 | 3375 | 50625 | 6525 |
| 16 | 14 | 256 | 196 | 224 | 18.28 | 641.78 | 18.32 | 42.25 | 59.92 | 4096 | 65536 | 3584 |
| 17 | 20 | 289 | 400 | 340 | 19.46 | 373.78 | 0.29 | 56.25 | 10.8 | 4913 | 83521 | 5780 |
| 18 | 25 | 324 | 625 | 450 | 21.4 | 205.44 | 12.96 | 72.25 | 90 | 5832 | 104976 | 8100 |
| 171 | 708 | 2109 | 38354 | 4725 | 708.54 | 10506 | 776.47 | 484.5 | 4162.06 | 58482 | 864690 | 97654 |
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
Sa = 0.307
Доверительные интервалы для зависимой переменной
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
102.76 + -11.36*10 + 0.38*102 - 1.746*12.13 ; 102.76 + -11.36*10 + 0.38*102 + 1.746*12.13
(15.03;39.29)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
где L - период упреждения; уn+ L - точечный прогноз по модели на (n
+ L)-й момент времени; n -
количество наблюдений во временном ряду; Sy -
стандартная ошибка прогнозируемого показателя; Tтабл
- табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа
степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 0.38*192 + -11.36*19 + 102.76 = 24.1
K1 = 48.37
24.1 - 48.37 = -24.27 ; 24.1 + 48.37 = 72.47
Интервальный прогноз:
t = 19: (-24.27;72.47)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
Статистическая значимость коэффициента уравнения не подтверждается
Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (tтабл=1.746):
(a - tтабл·Sa; a + tтабл·Sa)
(-0.1561;0.9161)
(b - tтабл·Sb; b + tтабл·Sb)
(-17.1628;-5.5572)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei-ei-1)2 |
| 80 | 91.78 | -11.78 | 138.77 | 0 |
| 79 | 81.56 | -2.56 | 6.55 | 85.01 |
| 75 | 72.1 | 2.9 | 8.41 | 29.81 |
| 70 | 63.4 | 6.6 | 43.56 | 13.69 |
| 65 | 55.46 | 9.54 | 91.01 | 8.64 |
| 60 | 48.28 | 11.72 | 137.36 | 4.75 |
| 39 | 41.86 | -2.86 | 8.18 | 212.58 |
| 35 | 36.2 | -1.2 | 1.44 | 2.76 |
| 30 | 31.3 | -1.3 | 1.69 | 0.01 |
| 25 | 27.16 | -2.16 | 4.67 | 0.74 |
| 20 | 23.78 | -3.78 | 14.29 | 2.62 |
| 10 | 21.16 | -11.16 | 124.55 | 54.46 |
| 13 | 19.3 | -6.3 | 39.69 | 23.62 |
| 19 | 18.2 | 0.8 | 0.64 | 50.41 |
| 29 | 17.86 | 11.14 | 124.1 | 106.92 |
| 14 | 18.28 | -4.28 | 18.32 | 237.78 |
| 20 | 19.46 | 0.54 | 0.29 | 23.23 |
| 25 | 21.4 | 3.6 | 12.96 | 9.36 |
| 776.47 | 866.39 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.