Сглаживание экспоненциальным методом
Сервис позволит провести сглаживание временного ряда yt экспоненциальным методом, т.е. простроить модель Брауна (см. пример).
Особенность метода экспоненциального сглаживания заключается в том, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда. Если для исходного временного ряда y1, y2, y3,…, yn соответствующие сглаженные значения уровней обозначить через St, t = 1,2,...,n, то экспоненциальное сглаживание осуществляется по формуле:
St = αyt + (1-α)St-1При использовании коэффициента сглаживания:
St = (1-α)yt + αSt-1- «вес текущего наблюдения»: классический α;
- «коэффициент сглаживания»: часто 1−α.
Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда. Если при подходе к правому концу временного ряда сглаженные этим методом значения при выбранном параметре α начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, необходимо перейти на другой параметр сглаживания. Достоинством этого метода является то, что при сглаживании не теряются ни начальные, ни конечные уровни сглаживаемого временного ряда.
Сглаживание экспоненциальным методом в Excel
Для вычисления каждого прогноза MS Excel использует отдельную, но алгебраически эквивалентную формулу. Оба компонента – данные предыдущего наблюдения и предыдущий прогноз – каждого прогноза умножаются на коэффициент, отображающий вклад данного компонента в текущий прогноз.Активизировать средство Экспоненциальное сглаживание можно, выбрав команду Сервис/Анализ данных после загрузки надстройки Пакет анализа (подробнее).
Как провести сглаживание ряда экспоненциальным методом
Пример. Построить прогнозный ряд с использованием экспоненциального сглаживания, рассчитать стандартные ошибки. Сравнить прогнозные ряды для а=0,2 и а=0,7 и для скользящего среднего для таблицы 18 представленной в методических указаниях.Решение находим с помощью калькулятора.
Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.
Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают St.
Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
St = α*Yt + (1- α)St-1
где St - значение экспоненциальной средней в момент t;
St-1 - значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);
Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Yt - значение экспоненциального процесса в момент t;
α - вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.
Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.
Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.
В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.
Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 - 0,3). При более высоких значениях (0,3 - 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.
В качестве S0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S0 = (1501 + 2396 + 2328)/3 = 2075
| t | y | St | Формула |
| 1 | 1501 | 1501 | 0.9*1501 + (1 - 0.1)*1501 |
| 2 | 2396 | 2306.5 | 0.9*2396 + (1 - 0.1)*1501 |
| 3 | 2328 | 2325.85 | 0.9*2328 + (1 - 0.1)*2306.5 |
| 4 | 2360 | 2356.59 | 0.9*2360 + (1 - 0.1)*2325.85 |
| 5 | 1738 | 1799.86 | 0.9*1738 + (1 - 0.1)*2356.59 |
| 6 | 1708 | 1717.19 | 0.9*1708 + (1 - 0.1)*1799.86 |
| 7 | 2662 | 2567.52 | 0.9*2662 + (1 - 0.1)*1717.19 |
| 8 | 1944 | 2006.35 | 0.9*1944 + (1 - 0.1)*2567.52 |
| 9 | 963 | 1067.34 | 0.9*963 + (1 - 0.1)*2006.35 |
| 10 | 972 | 981.53 | 0.9*972 + (1 - 0.1)*1067.34 |
| 11 | 1012 | 1008.95 | 0.9*1012 + (1 - 0.1)*981.53 |
| 12 | 926 | 934.3 | 0.9*926 + (1 - 0.1)*1008.95 |
| 13 | 898 | 901.63 | 0.9*898 + (1 - 0.1)*934.3 |
| 14 | 916 | 914.56 | 0.9*916 + (1 - 0.1)*901.63 |
| 15 | 968 | 962.66 | 0.9*968 + (1 - 0.1)*914.56 |
| 16 | 925 | 928.77 | 0.9*925 + (1 - 0.1)*962.66 |
| 17 | 972 | 967.68 | 0.9*972 + (1 - 0.1)*928.77 |
| 18 | 1241 | 1213.67 | 0.9*1241 + (1 - 0.1)*967.68 |
| 19 | 814 | 853.97 | 0.9*814 + (1 - 0.1)*1213.67 |
| 20 | 985 | 971.9 | 0.9*985 + (1 - 0.1)*853.97 |
Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте
Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a ebt . Оно является частным случаем показательного тренда. Для расчета по МНК уравнение приводят к виду:ln y = ln a + bt
Характеристика параметра k = e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.
Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
a0·n+a1∑t=∑y
a1·∑t+a1∑t²=∑y·t
Для наших данных система уравнений имеет вид
18a0+171a1=62.45
171a1+2109a1=542.14
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.11, a1 = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e-0.11t
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации: 
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Коэффициент детерминации: 
т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая
| t | ln(y) | t2 | y2 | t·y | y(t) | (y-y)2 | (y-y(t))2 | (t-tp)2 | (y-y(t)) : y |
| 1 | 4.38 | 1 | 19.2 | 4.38 | 4.37 | 0.83 | 0 | 72.25 | 0.06 |
| 2 | 4.37 | 4 | 19.09 | 8.74 | 4.26 | 0.81 | 0.01 | 56.25 | 0.47 |
| 3 | 4.32 | 9 | 18.64 | 12.95 | 4.16 | 0.72 | 0.03 | 42.25 | 0.7 |
| 4 | 4.25 | 16 | 18.05 | 16.99 | 4.05 | 0.61 | 0.04 | 30.25 | 0.84 |
| 5 | 4.17 | 25 | 17.43 | 20.87 | 3.94 | 0.5 | 0.05 | 20.25 | 0.96 |
| 6 | 4.09 | 36 | 16.76 | 24.57 | 3.84 | 0.39 | 0.07 | 12.25 | 1.04 |
| 7 | 3.66 | 49 | 13.42 | 25.64 | 3.73 | 0.04 | 0 | 6.25 | 0.26 |
| 8 | 3.56 | 64 | 12.64 | 28.44 | 3.63 | 0.01 | 0.01 | 2.25 | 0.26 |
| 9 | 3.4 | 81 | 11.57 | 30.61 | 3.52 | 0 | 0.01 | 0.25 | 0.41 |
| 10 | 3.22 | 100 | 10.36 | 32.19 | 3.42 | 0.06 | 0.04 | 0.25 | 0.64 |
| 11 | 3 | 121 | 8.97 | 32.95 | 3.31 | 0.22 | 0.1 | 2.25 | 0.95 |
| 12 | 2.3 | 144 | 5.3 | 27.63 | 3.21 | 1.36 | 0.82 | 6.25 | 2.08 |
| 13 | 2.56 | 169 | 6.58 | 33.34 | 3.1 | 0.82 | 0.29 | 12.25 | 1.37 |
| 14 | 2.94 | 196 | 8.67 | 41.22 | 2.99 | 0.28 | 0 | 20.25 | 0.15 |
| 15 | 3.37 | 225 | 11.34 | 50.51 | 2.89 | 0.01 | 0.23 | 30.25 | 1.61 |
| 16 | 2.64 | 256 | 6.96 | 42.22 | 2.78 | 0.69 | 0.02 | 42.25 | 0.38 |
| 17 | 3 | 289 | 8.97 | 50.93 | 2.68 | 0.22 | 0.1 | 56.25 | 0.95 |
| 18 | 3.22 | 324 | 10.36 | 57.94 | 2.57 | 0.06 | 0.42 | 72.25 | 2.08 |
| 171 | 62.45 | 2109 | 224.33 | 542.14 | 62.45 | 7.63 | 2.23 | 484.5 | 15.21 |
2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
S a = 0.0165
Доверительные интервалы для зависимой переменной
По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.
где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество
наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого
показателя; Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для
уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e-0.11*19 = 11.78
K1 = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08
Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)
2) F-статистика. Критерий Фишера.
Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei= y-y(x) | e2 | (ei- ei-1)2 |
| 4.38 | 4.37 | 0.01 | 0 | 0 |
| 4.37 | 4.26 | 0.11 | 0.01 | 0.01 |
| 4.32 | 4.16 | 0.16 | 0.03 | 0 |
| 4.25 | 4.05 | 0.2 | 0.04 | 0 |
| 4.17 | 3.94 | 0.23 | 0.05 | 0 |
| 4.09 | 3.84 | 0.26 | 0.07 | 0 |
| 3.66 | 3.73 | -0.07 | 0 | 0.11 |
| 3.56 | 3.63 | -0.07 | 0.01 | 0 |
| 3.4 | 3.52 | -0.12 | 0.01 | 0 |
| 3.22 | 3.42 | -0.2 | 0.04 | 0.01 |
| 3 | 3.31 | -0.32 | 0.1 | 0.01 |
| 2.3 | 3.21 | -0.9 | 0.82 | 0.35 |
| 2.56 | 3.1 | -0.54 | 0.29 | 0.14 |
| 2.94 | 2.99 | -0.05 | 0 | 0.24 |
| 3.37 | 2.89 | 0.48 | 0.23 | 0.28 |
| 2.64 | 2.78 | -0.14 | 0.02 | 0.39 |
| 3 | 2.68 | 0.32 | 0.1 | 0.21 |
| 3.22 | 2.57 | 0.65 | 0.42 | 0.11 |
| 0 | 0 | 0 | 2.23 | 1.85 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
Пример №2. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом экспоненциального сглаживания (α = 0.1).
В качестве S0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S0 = (50 + 56 + 46)/3 = 50.67
| t | y | St | Формула | (y - St)2 |
| 1 | 50 | 50.6 | 0.1*50 + (1-0.1)*50.67 | 0.36 |
| 2 | 56 | 51.14 | 0.1*56 + (1-0.1)*50.6 | 23.62 |
| 3 | 46 | 50.626 | 0.1*46 + (1-0.1)*51.14 | 21.4 |
| 4 | 48 | 50.363 | 0.1*48 + (1-0.1)*50.63 | 5.586 |
| 5 | 49 | 50.227 | 0.1*49 + (1-0.1)*50.36 | 1.506 |
| 6 | 46 | 49.804 | 0.1*46 + (1-0.1)*50.23 | 14.473 |
| 7 | 48 | 49.624 | 0.1*48 + (1-0.1)*49.8 | 2.637 |
| 8 | 47 | 49.362 | 0.1*47 + (1-0.1)*49.62 | 5.577 |
| 9 | 47 | 49.125 | 0.1*47 + (1-0.1)*49.36 | 4.517 |
| 10 | 49 | 49.113 | 0.1*49 + (1-0.1)*49.13 | 0.012 |
| 79.688 |