Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Множественная регрессия Линейная регрессия
Нелинейная регрессия Коэффициент Кендалла Показатели ряда динамики
Тест Дарбина-Уотсона Ошибка аппроксимации Экспоненциальное сглаживание

Как провести сглаживание ряда экспоненциальным методом

Пример. Построить прогнозный ряд с использованием экспоненциального сглаживания, рассчитать стандартные ошибки. Сравнить прогнозные ряды для а=0,2 и а=0,7 и для скользящего среднего для таблицы 18 представленной в методических указаниях.
Решение находим с помощью калькулятора.
Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.
Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают St.
Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
St = α*Yt + (1- α)St-1
где St - значение экспоненциальной средней в момент t;
St-1 - значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);
Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Yt - значение экспоненциального процесса в момент t;
α - вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.
Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.
Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.
В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.
Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 - 0,3). При более высоких значениях (0,3 - 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.
В качестве S0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S0 = (1501 + 2396 + 2328)/3 = 2075
t y St Формула
1 1501 1501 0.9*1501 + (1 - 0.1)*1501
2 2396 2306.5 0.9*2396 + (1 - 0.1)*1501
3 2328 2325.85 0.9*2328 + (1 - 0.1)*2306.5
4 2360 2356.59 0.9*2360 + (1 - 0.1)*2325.85
5 1738 1799.86 0.9*1738 + (1 - 0.1)*2356.59
6 1708 1717.19 0.9*1708 + (1 - 0.1)*1799.86
7 2662 2567.52 0.9*2662 + (1 - 0.1)*1717.19
8 1944 2006.35 0.9*1944 + (1 - 0.1)*2567.52
9 963 1067.34 0.9*963 + (1 - 0.1)*2006.35
10 972 981.53 0.9*972 + (1 - 0.1)*1067.34
11 1012 1008.95 0.9*1012 + (1 - 0.1)*981.53
12 926 934.3 0.9*926 + (1 - 0.1)*1008.95
13 898 901.63 0.9*898 + (1 - 0.1)*934.3
14 916 914.56 0.9*916 + (1 - 0.1)*901.63
15 968 962.66 0.9*968 + (1 - 0.1)*914.56
16 925 928.77 0.9*925 + (1 - 0.1)*962.66
17 972 967.68 0.9*972 + (1 - 0.1)*928.77
18 1241 1213.67 0.9*1241 + (1 - 0.1)*967.68
19 814 853.97 0.9*814 + (1 - 0.1)*1213.67
20 985 971.9 0.9*985 + (1 - 0.1)*853.97

Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте

Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a ebt . Оно является частным случаем показательного тренда. Для расчета по МНК уравнение приводят к виду: ln y = ln a + bt

Характеристика параметра k = e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.

Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте
Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.11, a1 = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e-0.11t

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации:

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда

Средние значения


Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент детерминации: Коэффициент детерминации

т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

t ln(y) t 2 y 2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y
1 4.38 1 19.2 4.38 4.37 0.83 0 72.25 0.06
2 4.37 4 19.09 8.74 4.26 0.81 0.01 56.25 0.47
3 4.32 9 18.64 12.95 4.16 0.72 0.03 42.25 0.7
4 4.25 16 18.05 16.99 4.05 0.61 0.04 30.25 0.84
5 4.17 25 17.43 20.87 3.94 0.5 0.05 20.25 0.96
6 4.09 36 16.76 24.57 3.84 0.39 0.07 12.25 1.04
7 3.66 49 13.42 25.64 3.73 0.04 0 6.25 0.26
8 3.56 64 12.64 28.44 3.63 0.01 0.01 2.25 0.26
9 3.4 81 11.57 30.61 3.52 0 0.01 0.25 0.41
10 3.22 100 10.36 32.19 3.42 0.06 0.04 0.25 0.64
11 3 121 8.97 32.95 3.31 0.22 0.1 2.25 0.95
12 2.3 144 5.3 27.63 3.21 1.36 0.82 6.25 2.08
13 2.56 169 6.58 33.34 3.1 0.82 0.29 12.25 1.37
14 2.94 196 8.67 41.22 2.99 0.28 0 20.25 0.15
15 3.37 225 11.34 50.51 2.89 0.01 0.23 30.25 1.61
16 2.64 256 6.96 42.22 2.78 0.69 0.02 42.25 0.38
17 3 289 8.97 50.93 2.68 0.22 0.1 56.25 0.95
18 3.22 324 10.36 57.94 2.57 0.06 0.42 72.25 2.08
171 62.45 2109 224.33 542.14 62.45 7.63 2.23 484.5 15.21

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда



S a = 0.0165

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.

Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e-0.11*19 = 11.78
K1 = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08

Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.1343;-0.0769)
(b - t b S b; b + t b S b)
(87.3017;87.9238)

2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
4.38 4.37 0.01 0 0
4.37 4.26 0.11 0.01 0.01
4.32 4.16 0.16 0.03 0
4.25 4.05 0.2 0.04 0
4.17 3.94 0.23 0.05 0
4.09 3.84 0.26 0.07 0
3.66 3.73 -0.07 0 0.11
3.56 3.63 -0.07 0.01 0
3.4 3.52 -0.12 0.01 0
3.22 3.42 -0.2 0.04 0.01
3 3.31 -0.32 0.1 0.01
2.3 3.21 -0.9 0.82 0.35
2.56 3.1 -0.54 0.29 0.14
2.94 2.99 -0.05 0 0.24
3.37 2.89 0.48 0.23 0.28
2.64 2.78 -0.14 0.02 0.39
3 2.68 0.32 0.1 0.21
3.22 2.57 0.65 0.42 0.11
0 0 0 2.23 1.85

Тест Дарбина-Уотсона

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.