Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Множественная регрессия Линейная регрессия
Нелинейная регрессия Коэффициент Кендалла Показатели ряда динамики
Тест Дарбина-Уотсона Ошибка аппроксимации Экспоненциальное сглаживание

Как провести сглаживание ряда экспоненциальным методом

Пример. Построить прогнозный ряд с использованием экспоненциального сглаживания, рассчитать стандартные ошибки. Сравнить прогнозные ряды для а=0,2 и а=0,7 и для скользящего среднего для таблицы 18 представленной в методических указаниях.
Решение находим с помощью калькулятора.


Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.
Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают St.
Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
St = α*Yt + (1- α)St-1
где St - значение экспоненциальной средней в момент t;
St-1 - значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);
Что касается начального параметра S0, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Yt - значение экспоненциального процесса в момент t;
α - вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.
Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.
Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.
В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.
Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 - 0,3). При более высоких значениях (0,3 - 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.
В качестве S0 берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S0 = (1501 + 2396 + 2328)/3 = 2075

tyStФормула
1150115010.9*1501 + (1 - 0.1)*1501
223962306.50.9*2396 + (1 - 0.1)*1501
323282325.850.9*2328 + (1 - 0.1)*2306.5
423602356.590.9*2360 + (1 - 0.1)*2325.85
517381799.860.9*1738 + (1 - 0.1)*2356.59
617081717.190.9*1708 + (1 - 0.1)*1799.86
726622567.520.9*2662 + (1 - 0.1)*1717.19
819442006.350.9*1944 + (1 - 0.1)*2567.52
99631067.340.9*963 + (1 - 0.1)*2006.35
10972981.530.9*972 + (1 - 0.1)*1067.34
1110121008.950.9*1012 + (1 - 0.1)*981.53
12926934.30.9*926 + (1 - 0.1)*1008.95
13898901.630.9*898 + (1 - 0.1)*934.3
14916914.560.9*916 + (1 - 0.1)*901.63
15968962.660.9*968 + (1 - 0.1)*914.56
16925928.770.9*925 + (1 - 0.1)*962.66
17972967.680.9*972 + (1 - 0.1)*928.77
1812411213.670.9*1241 + (1 - 0.1)*967.68
19814853.970.9*814 + (1 - 0.1)*1213.67
20985971.90.9*985 + (1 - 0.1)*853.97

Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте

Экспоненциальное уравнение тренда имеет вид y = a ebt . Оно является частным случаем показательного тренда. Для расчета по МНК уравнение приводят к виду: ln y = ln a + bt

Характеристика параметра k = e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.

Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
a0·n+a1∑t=∑y
a1·∑t+a1∑t²=∑y·t
Для наших данных система уравнений имеет вид
18a0+171a1=62.45
171a1+2109a1=542.14
Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.11, a1 = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e-0.11t

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации:

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда

Средние значения


Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент детерминации: Коэффициент детерминации

т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

tln(y)t2 y2 t·yy(t)(y-y)2 (y-y(t))2 (t-tp)2 (y-y(t)) : y
14.38119.24.384.370.83072.250.06
24.37419.098.744.260.810.0156.250.47
34.32918.6412.954.160.720.0342.250.7
44.251618.0516.994.050.610.0430.250.84
54.172517.4320.873.940.50.0520.250.96
64.093616.7624.573.840.390.0712.251.04
73.664913.4225.643.730.0406.250.26
83.566412.6428.443.630.010.012.250.26
93.48111.5730.613.5200.010.250.41
103.2210010.3632.193.420.060.040.250.64
1131218.9732.953.310.220.12.250.95
122.31445.327.633.211.360.826.252.08
132.561696.5833.343.10.820.2912.251.37
142.941968.6741.222.990.28020.250.15
153.3722511.3450.512.890.010.2330.251.61
162.642566.9642.222.780.690.0242.250.38
1732898.9750.932.680.220.156.250.95
183.2232410.3657.942.570.060.4272.252.08
17162.452109224.33542.1462.457.632.23484.515.21

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда
Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда



S a = 0.0165

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.

Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e-0.11*19 = 11.78
K1 = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08

Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)

3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.1343;-0.0769)
(b - t b S b; b + t b S b)
(87.3017;87.9238)

2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

yy(x)ei= y-y(x)e2 (ei- ei-1)2
4.384.370.0100
4.374.260.110.010.01
4.324.160.160.030
4.254.050.20.040
4.173.940.230.050
4.093.840.260.070
3.663.73-0.0700.11
3.563.63-0.070.010
3.43.52-0.120.010
3.223.42-0.20.040.01
33.31-0.320.10.01
2.33.21-0.90.820.35
2.563.1-0.540.290.14
2.942.99-0.0500.24
3.372.890.480.230.28
2.642.78-0.140.020.39
32.680.320.10.21
3.222.570.650.420.11
0002.231.85

Тест Дарбина-Уотсона

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.