Как провести сглаживание ряда экспоненциальным методом

Видеоинструкция
Важным методом стохастических прогнозов является метод экспоненциального сглаживания. Этот метод заключается в том, что ряд динамики сглаживается с помощью скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону.
Эту среднюю называют экспоненциальной средней и обозначают S_t.
Она является характеристикой последних значений ряда динамики, которым присваивается наибольший вес.
Экспоненциальная средняя вычисляется по рекуррентной формуле:
S_t = α*Y_t + (1- α)S_t-1
где S_t - значение экспоненциальной средней в момент t;
S_t-1 - значение экспоненциальной средней в момент (t = 1);
Что касается начального параметра S₀, то в задачах его берут или равным значению первого уровня ряда у₁, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда.
Y_t - значение экспоненциального процесса в момент t;
α - вес t-ого значения ряда динамики (или параметр сглаживания).
Последовательное применение формулы дает возможность вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики.
Наиболее важной характеристикой в этой модели является α, по величине которой практически и осуществляется прогноз. Чем значение этого параметра ближе к 1, тем больше при прогнозе учитывается влияние последних уровней ряда динамики.
Если α близко к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда динамики убывают медленно, т.е. при прогнозе учитываются все прошлые уровни ряда.
В специальной литературе отмечается, что обычно на практике значение α находится в пределах от 0,1 до 0,3. Значение 0,5 почти никогда не превышается.
Экспоненциальное сглаживание применимо, прежде всего, при постоянном объеме потребления (α = 0,1 - 0,3). При более высоких значениях (0,3 - 0,5) метод подходит при изменении структуры потребления, например, с учетом сезонных колебаний.
В качестве S₀ берем среднее арифметическое первых 3 значения ряда.
S₀ = (1501 + 2396 + 2328)/3 = 2075

Аналитическое выравнивание ряда по экспоненте

Характеристика параметра k = e экспоненциального тренда выражается в среднем ускорении изменения анализируемого явления от периода (момента) к периоду (моменту) времени.

Пример. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений
a₀·n+a₁∑t=∑y
a₁·∑t+a₁∑t²=∑y·t
Для наших данных система уравнений имеет вид
18a₀+171a₁=62.45
171a₁+2109a₁=542.14
Из первого уравнения выражаем а₀ и подставим во второе уравнение
Получаем a₀ = -0.11, a₁ = 4.47
Уравнение тренда: y = 87.61e^-0.11t

Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации:

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда

Средние значения

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент детерминации:

т.е. в 70.77 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
87.61 e^-0.11*10 - 1.746*0.65 ; 87.61 e^-0.11*10 + 1.746*0.65
(29.82;31.12)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; у_n+L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  T_табл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.

Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 87.61 e^-0.11*19 = 11.78
K₁ = 1.3
11.78 - 1.3 = 10.48 ; 11.78 + 1.3 = 13.08

Интервальный прогноз:
t = 19: (10.48;13.08)

2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.