Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков
Критерий Дарбина-Уотсона применяют для обнаружения автокорреляции, подчиняющейся авторегрессионному процессу 1-го порядка. Предполагается, что величина остатков еt в каждом t-м наблюдении не зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если коэффициент автокорреляции ρ положительный, то автокорреляция положительна, если ρ отрицательный, то автокорреляция отрицательна. Если ρ = 0, то автокорреляция отсутствует (т.е. четвертая предпосылка нормальной линейной модели выполняется).Критерий Дарбина-Уотсона сводится к проверке гипотезы:
- Н0 (основная гипотеза): ρ = 0
- Н1 (альтернативная гипотеза): ρ > 0 или ρ < 0.
Для проверки основной гипотезы используется статистика критерия Дарбина-Уотсона – DW:
ei = y - y(x)
Тест Дарбина-Уотсона проводится с помощью трех калькуляторов:
- Парная регрессия
- Множественная регрессия
- Уравнение тренда (линейная и нелинейная регрессия)
Рассмотрим третий вариант. Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов через онлайн сервис Уравнение тренда
.
Система уравнений
Для наших данных система уравнений имеет вид
Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -12.78, a1 = 26763.32
Уравнение тренда
y = -12.78 t + 26763.32
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.
Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения
Дисперсия
Индекс детерминации
, т.е. в 97.01% случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.
| t | y | t2 | y2 | t ∙ y | y(t) | (y-y cp)2 | (y-y(t))2 | (t-t p)2 | (y-y(t)) : y |
| 1990 | 1319 | 3960100 | 1739761 | 2624810 | 1340.26 | 18117.16 | 451.99 | 148.84 | 28041.86 |
| 1996 | 1288 | 3984016 | 1658944 | 2570848 | 1263.61 | 10732.96 | 594.99 | 38.44 | 31417.53 |
| 2001 | 1213 | 4004001 | 1471369 | 2427213 | 1199.73 | 817.96 | 176.08 | 1.44 | 16095.92 |
| 2002 | 1193 | 4008004 | 1423249 | 2388386 | 1186.96 | 73.96 | 36.54 | 0.04 | 7211.59 |
| 2003 | 1174 | 4012009 | 1378276 | 2351522 | 1174.18 | 108.16 | 0.03 | 0.64 | 210.94 |
| 2004 | 1159 | 4016016 | 1343281 | 2322636 | 1161.4 | 645.16 | 5.78 | 3.24 | 2786.55 |
| 2005 | 1145 | 4020025 | 1311025 | 2295725 | 1148.63 | 1552.36 | 13.17 | 7.84 | 4155.05 |
| 2006 | 1130 | 4024036 | 1276900 | 2266780 | 1135.85 | 2959.36 | 34.26 | 14.44 | 6614.41 |
| 2007 | 1117 | 4028049 | 1247689 | 2241819 | 1123.08 | 4542.76 | 36.94 | 23.04 | 6789.19 |
| 2008 | 1106 | 4032064 | 1223236 | 2220848 | 1110.3 | 6146.56 | 18.51 | 33.64 | 4758.73 |
| 20022 | 11844 | 40088320 | 14073730 | 23710587 | 11844 | 45696.4 | 1368.3 | 271.6 | 108081.77 |
Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
| y | y(x) | ei = y-y(x) | e2 | (ei - ei-1)2 |
| 1319 | 1340.26 | -21.26 | 451.99 | 0 |
| 1288 | 1263.61 | 24.39 | 594.99 | 2084.14 |
| 1213 | 1199.73 | 13.27 | 176.08 | 123.72 |
| 1193 | 1186.96 | 6.04 | 36.54 | 52.19 |
| 1174 | 1174.18 | -0.18 | 0.03 | 38.75 |
| 1159 | 1161.4 | -2.4 | 5.78 | 4.95 |
| 1145 | 1148.63 | -3.63 | 13.17 | 1.5 |
| 1130 | 1135.85 | -5.85 | 34.26 | 4.95 |
| 1117 | 1123.08 | -6.08 | 36.94 | 0.05 |
| 1106 | 1110.3 | -4.3 | 18.51 | 3.15 |
| 1368.3 | 2313.41 |
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.
По таблице Дарбина-Уотсона при m=1 определим критические точки для уровня значимости 0,05 и числа наблюдений 10:
d1 = 0,604
d2 = 1,001
Таким образом, 1,001 < DW < 2,999, т.е. (d2 < DW < 4 - d2), следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества модели.
Перейти к онлайн решению своей задачи
Пример. По данным за 24 месяца построено уравнение регрессии зависимости прибыли сельскохозяйственной организации от производительности труда (x1): y = 300 + 5x.
Получены следующие промежуточные результаты:
∑ε2 = 18500
∑(εt- εt-1)2 = 41500
Рассчитайте критерий Дарбина-Уотсона (при n=24 и k=1 (число факторов) нижнее значение d = 1,27, верхнее d = 1,45. Сделайте выводы.
Решение.
DW = 41500/18500 = 2,24
d2 = 4- 1,45 =2,55
Поскольку DW > 2,55, то следовательно, имеются основания считать, что автокорреляция отсутствует. Это является одним из подтверждений высокого качества полученного уравнения регрессии y = 300 + 5x.
