Точечная оценка и ее свойства
Распределение случайной величины (распределение генеральной совокупности) характеризуется обычно рядом числовых характеристик:- для нормального распределения N(a, σ) — это математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ ;
- для равномерного распределения R(a,b) — это границы интервала [a;b], в котором наблюдаются значения этой случайной величины.
Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.
Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.
В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.
Свойство несмещенности оценки.
Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки, т.е. при многократном использовании вместо параметра θ его оценки 
среднее значение ошибки приближения 
равно нулю — это свойство несмещенности оценки.
Определение. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра: 
Выборочное среднее арифметическое 
является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия 
— смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка
Свойство состоятельности оценки.
Второе требование к оценке — ее состоятельность — означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.
Определение. Оценка 
называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.
Сходимость по вероятности означает, что при большом объеме выборки вероятность больших отклонений оценки от истинного значения мала.
Свойство эффективной оценки.
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.
Определение. Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.
Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.
Пример №1. Найдите несмещенную оценку дисперсии измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 13,15,17.
Решение. Таблица для расчета показателей.
| x | |x - xср| | (x - xср)2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Простая средняя арифметическая (несмещенная оценка математического ожидания)
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего - смещенная оценка).
Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).
Пример №2. Найдите несмещенную оценку математического ожидания измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Пример №3. Найдите исправленную дисперсию S2 для выборки объема n=10, если выборочная диспресия равна D = 180.
Решение. S2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200