Определитель матрицы ▦ Производная функции dydx График 3D Упростить выражение Графический метод решения задач нелинейного программирования ⇲ …
Примеры решений Множественная регрессия Линейная регрессия Нелинейная регрессия Коэффициент Кендалла Показатели ряда динамики Тест Дарбина-Уотсона Ошибка аппроксимации Экспоненциальное сглаживание

Метод двойного сглаживания Брауна

Онлайн калькулятор позволит провести прогнозирование временного ряда yt методом двойного сглаживания Брауна.
Инструкция. Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word.
Количество строк (исходных данных)
Здесь будет отображаться решение.
Модель Брауна двойного сглаживания:
1. Первое сглаживание: S1t=αYt + (1-α)S1t-1
2. Второе сглаживание: S2t=αS1t + (1-α)S2t-1
3. Уровень: at=2S1t-S2t
4. Тренд: bt=
5. Прогноз на период t+k: yt+k=at+btk

Пример №1.
Угол наклона прямой, образованной 3 точками первой реализации, можно найти с помощью метода наименьших квадратов.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
Система уравнений МНК:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t2 = ∑y*t

tyt2y2t y
172661527947567266
2696144845552113922
3633494011955619002
6205611414136983340190
Ср.знач.6853.6674.66747123277.66713396.667
Для наших данных система уравнений имеет вид:
3a + 6b = 20561
6a + 14b = 40190
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение. Получаем a = 7785.667, b = -466
Начальные условия: S1=a+b=7785.6666666667-466=7319.667
S2===
8407
Покажем расчет первых четырех уровней прогноза.
S11=7319.667; S21=7319.667; a1=2*7319.667-8407=6232.333; b1=0.3/(1-0.3)*(7319.667-8407)=-466
S12=0.3*6961+(1-0.3)*7319.667=7212.067
S22=0.3*7212.067+(1-0.3)*8407=8048.52
a2=2*7212.067-8048.52=6375.613
b2=0.3/(1-0.3)*(7212.067-8048.52)=-358.48
S13=0.3*6334+(1-0.3)*7212.067=6948.647
S23=0.3*6948.647+(1-0.3)*8048.52=7718.558
a3=2*6948.647-7718.558=6178.735
b3=0.3/(1-0.3)*(6948.647-7718.558)=-329.962
S14=0.3*6150+(1-0.3)*6948.647=6709.053
S24=0.3*6709.053+(1-0.3)*7718.558=7415.7064
a4=2*6709.053-7415.706=6002.4
b4=0.3/(1-0.3)*(6709.053-7415.706)=-302.8516
tytСглаживание, S1tСглаживание, S2tУровень, atТренд, btПрогноз, yt* (Ft)(yt-yt*2)
172667319.66784076232.333-4665766.333-
269617212.0678048.526375.613-358.486017.133342677.55
363346948.6477718.5586178.735-329.9625848.77324107.117
461506709.0537415.7066002.399-302.8525699.54721786.075
551786249.7377065.9165433.558-349.7915083.76765309.99
648715836.1166696.9764975.256-368.944606.31610869.312
747915522.5816344.6574700.505-352.3184348.1878189.367
842945154.0075987.4624320.551-357.1953963.356704.976
942704888.8055657.8654119.745-329.5973790.14722576.698
1036114505.4635312.1443698.782-345.723353.0627705.714
1133574160.9244966.7783355.07-345.3663009.7043.724
1232593890.3474643.8493136.845-322.9292813.91614921.828
1329833618.1434336.1372900.149-307.7122592.4376864.343
1428303381.74049.8062713.594-286.3312427.26313550.343
1527323186.793790.9012582.679-258.9052323.77422296.811
1627253048.2533568.1072528.399-222.7942305.60538651.844
1727002943.7773380.8082506.746-187.2992319.44737346.969
637562.663

Прогнозирование

Первое значение суммы остатков не учитываем, т.к. при однократном экспоненциальном сглаживании первый прогноз возможен только со второго шага (k=16).
y(17+1) = 2506.746-187.299 = 2319.447
Ошибка прогноза определяется по формуле:

Определим значение критерия Стьюдента для числа степеней свободы k = n-m = 16-2 = 14 и уровня значимости 0.05: t(14;0.05) = 2.145
Нижняя граница прогноза:
y1=2319.447-2.145*213.401 = 1861.701
Нижняя граница прогноза:
y2=2319.447+2.145*213.401 = 2777.193

Анализ и выводы

Ряд демонстрирует устойчивый отрицательный тренд (убывание). Начальное значение Y1=7266, конечное Y17=2700. Трендовая компонента Tt изначально резко отрицательна, но постепенно становится менее крутой. Это указывает на замедление темпов снижения — ряд продолжает убывать, но с меньшей скоростью. При прогнозировании следует учитывать ошибку прогноза s=457.75.

Пример №2. Имеются данные о стоимости произведенной продукции (О) за десять месяцев, а также стоимости основных производственных фондов (Ф) за двенадцать месяцев текущего года.

  1. Выбрать факторный и результативный признаки. Произвести графический анализ данных. Выбрать приемлемую модель, произвести её спецификацию.
  2. Определить МНК-оценку параметров модели, выяснить их значимость, а также уравнения в целом.
  3. Методом экстраполяции линейного периода спрогнозировать стоимость произведенной продукции за ноябрь декабрь месяцы.
  4. Методами корреляционно-регрессионного анализа, а также адаптивного сглаживания (методом Брауна) спрогнозировать стоимость произведенной продукции за ноябрь и декабрь.
  5. Проанализировать результаты прогнозирования
t123456789101112
О261011141820252324  
Ф151922202523242830313435
Примечание. Адаптивный метод сглаживания Брауна является модификацией классического метода, где параметр α сглаживания динамически корректируется на каждом шаге в зависимости от ошибки прогноза.

Алгоритм адаптации

  1. Вычислить ошибку прогноза: et=Yt−Ft
  2. Обновить оценку дисперсии ошибок (например, экспоненциально взвешенную): Qt=γe2t+(1−γ)Qt-1, где γ∈(0,1) — параметр адаптации.
  3. Вычислить текущий αₜ: αt=|et|/sqrt(Qt) (или другая функция, например, αt=min⁡(0.9,max⁡(0.1,k⋅|et|))
  4. Использовать αₜ для обновления S1t и S2t вместо фиксированного α.
Таким образом, αₜ меняется со временем, т.е. модель «адаптируется» к изменчивости ряда. Как правило, этот метод используется для Нестационарные ряды, структурные сдвиги, волатильность