Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Неопределенный интеграл

Определение и свойства неопределенного интеграла

Будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)(дифференциала f(x)dx) на отрезке [a,b], если F’(x) = f(x) для .
Нетрудно видеть, что функция является первообразной для функции cos3x. Действительно,
.
Докажем несколько свойств первообразных.
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x) + C, где C- некоторая константа, также является первообразной для f(x).
Доказательство. Действительно, (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x). Теорема доказана.
Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x) – Ф(x) есть константа на [a,b].
Следствие. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением Ф(x) = F(x) + C.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .

Свойства неопределенного интеграла:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования. Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.
Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам. Таблица интегралов обратна к таблице производных и может быть легко получена.

Таблица интегралов

Также рекомендуется изучить сервис решение интегралов онлайн