Неопределенный интеграл
Определение и свойства неопределенного интеграла
Будем заниматься задачей, обратной к задаче нахождения производной.Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) (дифференциала f(x)dx) на отрезке [a,b], если F′(x) = f(x) для ∀x[a,b].
Нетрудно видеть, что функция
является первообразной для функции cos3x. Действительно,
Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f(x), то F(x) + C, где C- некоторая константа, также является первообразной для f(x).
Доказательство. Действительно, (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x). Теорема доказана.
Теорема 2. Если F(x) и Ф(x) две первообразные одной и той же функции, то их разность F(x) – Ф(x) есть константа на [a,b].
Следствие. Любые две первообразные одной и той же функции связаны соотношением Ф(x) = F(x) + C.
Определение. Множество всех первообразных функции f(x) (дифференциала f(x)dx) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается ∫f(x)dx.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
Свойства 3 и 4 означают линейность операции интегрирования. Свойство 5 следует из инвариантности формы первого дифференциала и лежит в основе нахождения интеграла с помощью замены переменной.
Используя свойства 1-5 и свойства дифференциалов, сводят вычисление интегралов к так называемым табличным интегралам. Таблица интегралов обратна к таблице производных и может быть легко получена.
Также рекомендуется изучить сервис решение интегралов онлайн