Несобственные интегралы
Несобственные интегралы первого рода
Определение. Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке [a, ∞) и для всякого A≥a существует интеграл
Предел 
называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается 
Если существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.
Пример. Рассмотрим 
. Пусть α=1. Тогда 
. Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда
и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α≤1 расходится и при α>1 сходится. Этот интеграл часто используется в признаке сравнения в качестве эталонного.
Нам в дальнейшем понадобится следующий важный результат.
Теорема 2.4. (Критерий Коши). Несобственный интеграл первого рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε≥0 существует A≥a такое, что для всех A1,A2 ≥ A выполнено неравенство 
Доказательство этого результата опустим.
Определение. Несобственный интеграл первого рода 
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл 
Отметим, что если несобственный интеграл первого рода сходится абсолютно, то он сходится. Действительно, тогда для интеграла 
выполнен критерий Коши, а в силу справедливости неравенства 
, критерий Коши выполнен и для интеграла
Обратное утверждение неверно.
Сходимость несобственного интеграла 
определяется аналогично. Предлагается проделать это самостоятельно.
Для несобственного интеграла 
можем записать 
и назвать этот интеграл сходящимся, если сходятся оба слагаемых. В качестве точки 
выбирают обычно 0.
Пример. Рассмотрим интеграл 
По определению сходимости этого интеграла получаем
Следовательно, этот интеграл расходится.
С другой стороны, при согласованном стремлении верхнего и нижнего пределов к ∞ можем записать
Это дает возможность ввести новое понятие.
Определение. Говорят, что несобственный интеграл первого рода сходится в смысле главного значения Коши, если существует и конечен предел 
.
Рассмотренный выше пример показывает, что несобственный интеграл первого рода может сходиться в смысле главного значения Коши и расходиться в обычном смысле.
Отметим несколько свойств несобственных интегралов первого рода
1. Если интеграл сходится, то для всякого b≥a интеграл 
сходится и 
2. Если интеграл сходится, то сходится интеграл 
и имеет место равенство 
3. Если интегралы и 
сходятся, то сходятся интегралы 
и имеет место равенство
Обратное утверждение не верно.
Для других типов несобственных интегралов первого рода свойства аналогичны.
Сходимость не всех несобственных интегралов первого рода просто выяснить по определению. Поэтому часто используют так называемые признаки сравнения в непредельной и предельной формах.
Теорема 2.5. Пусть для всякого x≥A(A≥a) выполнено неравенство |f(x)| ≤ |g(x). Тогда, если интеграл абсолютно сходится, то интеграл абсолютно сходится, а если интеграл абсолютно расходится, то интеграл абсолютно расходится.
Доказательство не сложно и основано на том, что если f(x)≥0, то 
- монотонно возрастающая функция от A и несобственный интеграл либо сходится, либо равен бесконечности.
Теорема 2.6. Если f(x) и g(x) бесконечно малые одного порядка малости, то есть 
, то интегралы и либо оба абсолютно сходятся, либо оба абсолютно расходятся.
Доказательство. Так как 
, то 
. Возьмем 0<ε<|K|. По определению предела существует M>0 такое, что для всех x>M выполнено неравенство
а, следовательно, и неравенство
Из последнего неравенства и теоремы 2.5 получаем утверждение теоремы.
Примеры
1. Выяснить сходимость интеграла 
Так как 
для всех x≥1, а интеграл 
сходится, то и исходный интеграл тоже сходится.
2. Выяснить сходимость интеграла 
Находя порядок малости подынтегральной функции относительно функции 
, получаем
Таким образом, порядок малости – 1,5 и, следовательно, интеграл сходится.
Несобственные интегралы второго рода
Определение. Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и
Пусть далее для всякого 0<δ<b-a существует интеграл 
Предел 
называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается 
Если существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы второго рода в случаях, когда подынтегральная функция бесконечно большая на нижнем пределе, во внутренней точке отрезка [a,b], на верхнем и нижнем пределах одновременно. Мы рассмотрим случай особенности на верхнем пределе. Для остальных вариантов предлагается проделать это самостоятельно.
Пример. Рассмотрим
. Пусть 
Тогда 
Таким образом, рассмотренный интеграл при α=1 расходится. Пусть теперь α≠1. Тогда
и мы окончательно получили, что рассматриваемый интеграл при α<1 сходится и при α≥1 расходится. Интегралы
, 
, 
используются в признаке сравнения в качестве эталонных.
Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются и доказываются критерий Коши и признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.
Теорема 2.7.(Критерий Коши). Несобственный интеграл второго рода сходится тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует δ>0. такое, что для всех δ1, δ2≤δ выполняется неравенство
Доказательство этого результата опустим.
Теорема 2.8. Пусть для всякого b-δ≤x<b выполнено неравенство 0≤f(x)≤g(x). Тогда, если интеграл
сходится, то интеграл 
сходится, а если интеграл расходится, то интеграл расходится.
Доказательство опустим.
Теорема 2.9. Если f(x) и g(x)бесконечно большие одного порядка роста, то есть
, то интегралы и либо оба сходятся, либо оба расходятся.
Примеры
1. Выяснить сходимость интеграла 
По определению имеем
2. Выяснить сходимость интеграла
Подынтегральная функция имеет особенность в точках x=0 и x=1 Разбиваем интеграл на два
Первый из этих интегралов сходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→0 относительно 1/x равен ½, а второй расходится, так как порядок роста подынтегральной функции при x→1 относительно
равен 1.
Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.
