Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Найти производную Решение пределов онлайн
Найти интеграл онлайн Геометрический смысл Несобственные интегралы
Диф уравнения онлайн Вычисление объёмов Неопределенный интеграл

Интегрирование простейших иррациональностей

Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов иррациональных дробей вида , , .
Инструкция. Введите числитель и знаменатель дроби. Нажмите кнопку Решить.


dx
Интеграл вида:
,

Также рекомендуется ознакомиться с сервисом интегралы онлайн.

Пусть – рациональная функция от Эта функция, а следовательно, и интеграл от неё, рационализируется подстановкой x=tr, где r– наименьшее общее кратное чисел r1, r2,…, rn. Тогда dx=rtr-1 и под интегралом стоит рациональная функция от t. Аналогично, если подынтегральное выражение есть рациональная функция от , то подынтегральная функция рационализируется подстановкой где t – наименьшее общее кратное чисел r1, r2,…, rn. Тогда Подставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t.

Пример. Вычислить . Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому делаем замену x = t6. Тогда dx = 6t5dt и

Интегрирование иррациональных функций

Пример №1. Вычислить определенный интеграл от иррациональной функции:

Решение. Интеграл вида R(xα1, xα2,..., xαk)dx, где R — рациональная функция от xαi, αi=pi/qi — рациональные дроби (i = 1,2,..., k), сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки х = tq, где q — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей а1, а2,..., аk. В нашем случае а1 = 2, a2 = 3, a3 = 6, так что наименьшее общее кратное их знаменателей q = НОК(2,3,6) = 6. Замена переменной х = t6 приводит к интегралу от дробно-рациональной функции, который вычисляется, как описано в примере:

Ответ:

Пример №2.
Решение.