Интегрирование простейших иррациональностей

Данный онлайн калькулятор служит для вычисления интегралов иррациональных дробей вида

Ввод данных
Инструкция

Также рекомендуется ознакомиться с сервисом интегралы онлайн.

Пусть – рациональная функция от Эта функция, а следовательно, и интеграл от неё, рационализируется подстановкой x=t^r, где r– наименьшее общее кратное чисел r₁, r₂,…, r_n. Тогда dx=rt^r^-1 и под интегралом стоит рациональная функция от t. Аналогично, если подынтегральное выражение есть рациональная функция от , то подынтегральная функция рационализируется подстановкой где t – наименьшее общее кратное чисел r₁, r₂,…, r_n. Тогда Подставляя в исходное выражение, получаем рациональную функцию от t.

Пример. Вычислить . Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому делаем замену x = t⁶. Тогда dx = 6t⁵dt и

Интегрирование иррациональных функций

Пример №1. Вычислить определенный интеграл от иррациональной функции:

Решение. Интеграл вида R(x^α1, x^α2,..., x^αk)dx, где R — рациональная функция от x^αi, α_i=p_i/q_i — рациональные дроби (i = 1,2,..., k), сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки х = t^q, где q — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей а₁, а₂,..., а_k. В нашем случае а₁ = 2, a₂ = 3, a₃ = 6, так что наименьшее общее кратное их знаменателей q = НОК(2,3,6) = 6. Замена переменной х = t⁶ приводит к интегралу от дробно-рациональной функции, который вычисляется, как описано в примере: