Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть f(x)≥0 для Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную кривыми Разобьём отрезок [a,b] на части точками , выберем внутри каждого элементарного отрезка по точке . Заменим криволинейную трапецию, ограниченную линиями y=0,x=xi, x=xi+1, y=f(x), прямоугольником . Если f - непрерывная функция, то площадь этого прямоугольника равна и при достаточно малом близка площади заменяемой трапеции. Просуммировав, получим, с одной стороны, приближенное значение площади криволинейной трапеции, с другой стороны, интегральную сумму для интеграла . Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, получаем площадь S исходной криволинейной трапеции
Назовём трапецию простейшей областью, если она ограничена кривыми x = a, x = b, y = f1(x), y = f2(x), и для всех выполнено неравенство f1(x) ≤ f2(x). Нетрудно видеть, что для простейшей области
Аналогично, если для всех , то для криволинейной трапеции ограниченной кривыми y=c, y=d, x = φ1(y), x = φ2(y) (простейшей областью второго типа), имеем

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

Примеры
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 и x = y2.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,0) и B(1,1). Поэтому
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 2x + 1 и x-y-1=0.
Эти кривые пересекаются в точках A(0,-1) и B(4,3). В данном случае лучше рассматривать простейшую область второго типа. Поэтому

см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями

Вычисление объёмов

Пусть область такова, что для известна площадь S(x) сечения плоскостью x = const Тогда, заменяя объём области заключенной между плоскостями x=xi, x=xi+1 на объём цилиндра , получаем
Для тел, полученных вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX, имеем . Если кривую вращать вокруг оси OY, то .

Примеры
1. Трапеция ограничена кривыми Вычислить объём тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси
Подставляя в формулу, получаем

см. также Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси:

Вычисление длины дуги кривой

Рассмотрим кривую L. Разделим кривую на части точками (xi,yi), i = 1,..,n. Заменим дугу кривой между точками (xi, yi) и (xi+1, yi+1) хордой эти точки соединяющей. Тогда для длины дуги имеем . Просуммировав по всем точкам деления, получаем
Пусть кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме . Тогда где - точка лежащая между ti и ti+1. Переходя к пределу при увеличении числа точек разбиения, имеем
(2.1)
Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрически или, что, то же самое, в векторной форме , длина кривой равна
(2.2)
Для кривой, заданной явно уравнением , формула (2.1) приобретает вид
(2.3)
Если кривая задана в полярной системе координат, то

Поэтому

Подставляя в формулу для длины кривой, получаем
(2.4)

Примеры.
1. Найти длину дуги кривой y = ln(x), заключенной между точками Так как кривая задана явно, то . Делаем замену . Тогда и поэтому

2. Найти длину дуги кривой заключенной между точками t1 = 0 и t2 = 2π.
Так как кривая задана параметрически, то и поэтому

.

Вычисление двойных интегралов (криволинейные интегралы). Также рассмотрен пример нахождения центра тяжести однородной плоской фигуры.

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью решения интегралов онлайн.