Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Кратные и криволинейные интегралы

№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:
, где D – прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1.
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:
, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой y=½x² и прямой y=x.
Изобразим область интегрирования G.

Так как прямая y=x и парабола y=½x² пересекаются в точках O(0;0) и A(2;2), то область G определяется системой неравенств:

Теперь вычислим искомый интеграл I:


.
Интеграл был найден методом интегрирования по частям.

№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:
1) , где L - дуга параболы y2=2x, заключенная между точками (2;2) и (8;4). Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем
, .
Следовательно, данный интеграл равен

.

2) , где L - окружность x2+y2=a·x (a>0).
Введем полярные координаты x=r·cos(φ), y=r·sin(φ). Тогда, так как x2+y2=a·x, уравнение окружности примет вид r2=a·r·cos(φ), т.е. r=a·cos(φ), а дифференциал дуги
.
При этом φ∈[-π/2; π/2]. Следовательно, .

№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями: y2=2x и y=x.
Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:

Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:
→ x2=2x → x1=0, y1=0 и x2=2, y2=2.
Проекция области G на ось Oy есть отрезок [0;2]. Таким образом,
.

Центр тяжести однородной плоской фигуры

Пусть областью D плоскости xOy является материальная пластинка, масса которой распределяется с поверхностной плотностью p=f(x,y). Тогда масса M этой пластинки вычисляется по формуле
(1)
Координаты точки C(xc,yc), являющейся центром тяжести этой пластинки, определяются по формулам
, . (2)
Если поверхностная плотность p постоянна (пластинка однородна), то из формулы (2) следует:
, , (3)
где S – площадь области D.

Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой y=x2-2x-1 и прямой y=x-1 (рис.).
Решение

Вычислим площадь S данной фигуры с помощью двойного интеграла: .
Парабола и прямая пересекаются в точках A(0,-1) и B(3,2). Область D определяется неравенствами 0≤x≤3, x2-2x-1≤y≤x-1.
Тогда

Вычислим статистические моменты Mx и My пластинки относительно осей Ox и Oy:


Следовательно, , и точка
- центр тяжести данной фигуры.