Кратные и криволинейные интегралы

№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:
, где D – прямоугольник , .
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому
.
Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:
, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой и прямой .
Изобразим область интегрирования G.

Так как прямая и парабола пересекаются в точках и , то область G определяется системой неравенств:

Теперь вычислим искомый интеграл :


.
Интеграл был найден методом интегрирования по частям.

№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:
1) , где - дуга параболы , заключенная между точками и . Найдем дифференциал дуги для кривой . Имеем
, .
Следовательно, данный интеграл равен

.

2) , где - окружность .
Введем полярные координаты , . Тогда, так как , уравнение окружности примет вид , т.е. , а дифференциал дуги
.
При этом . Следовательно, .

№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями: и .
Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:

Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:
, и , .
Проекция области G на ось есть отрезок . Таким образом,
.

Открыть диалог Discus Помощь в решении контрольных