Кратные и криволинейные интегралы
№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:![](images/line-image027.gif)
0≤x≤2
, 0≤y≤1
.
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому
![](images/line-image030.gif)
№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:
, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой y=½x² и прямой y=x.
Изобразим область интегрирования G.
Так как прямая y=x и парабола y=½x² пересекаются в точках O(0;0) и A(2;2), то область G определяется системой неравенств:
Теперь вычислим искомый интеграл I:
![](images/line-image039.gif)
![](images/line-image040.gif)
![](images/line-image041.gif)
![](images/line-image042.gif)
№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:
1) , где L - дуга параболы
y2=2x
, заключенная между точками (2;2) и (8;4). Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем
,
.
Следовательно, данный интеграл равен
![](images/line-image052.gif)
![](images/line-image053.gif)
2) , где L - окружность
x2+y2=a·x
(a>0).
Введем полярные координаты x=r·cos(φ)
, y=r·sin(φ)
. Тогда, так как x2+y2=a·x
, уравнение окружности примет вид r2=a·r·cos(φ)
, т.е. r=a·cos(φ)
, а дифференциал дуги
![](images/line-image061.gif)
![](images/line-image063.gif)
№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями:
y2=2x
и y=x
.
Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:
Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:
→ x2=2x → x1=0, y1=0 и x2=2, y2=2.
Проекция области G на ось Oy есть отрезок [0;2]. Таким образом,
![](images/line-image076.gif)
Центр тяжести однородной плоской фигуры
Пусть областью D плоскости xOy является материальная пластинка, масса которой распределяется с поверхностной плотностью p=f(x,y). Тогда масса M этой пластинки вычисляется по формуле![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image001.gif)
Координаты точки C(xc,yc), являющейся центром тяжести этой пластинки, определяются по формулам
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image002.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image003.gif)
Если поверхностная плотность p постоянна (пластинка однородна), то из формулы (2) следует:
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image004.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image005.gif)
где S – площадь области D.
Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой y=x2-2x-1 и прямой y=x-1 (рис.).
Решение
Вычислим площадь S данной фигуры с помощью двойного интеграла: .
Парабола и прямая пересекаются в точках A(0,-1) и B(3,2). Область D определяется неравенствами 0≤x≤3, x2-2x-1≤y≤x-1.
Тогда
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image008.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image009.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image010.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image011.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image012.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/moment-image013.gif)