Кратные и криволинейные интегралы

№ 1.Вычислить двойной интеграл по указанному прямоугольнику D:

, где D – прямоугольник 0≤x≤2, 0≤y≤1.
Преобразуем двойной интеграл в повторный. Пределы интегрирования известны, поэтому

Повторный интеграл свелся к произведению двух независимых друг от друга интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.

№ 2.Вычислить двойной интеграл по области G, ограниченной указанными линиями:
, где область G – параболический сегмент, ограниченный параболой y=½x² и прямой y=x.
Изобразим область интегрирования G.

Так как прямая y=x и парабола y=½x² пересекаются в точках O(0;0) и A(2;2), то область G определяется системой неравенств:

Теперь вычислим искомый интеграл I:

Интеграл

был найден методом интегрирования по частям.

№ 3.Вычислить криволинейный интеграл:
1) , где L - дуга параболы y²=2x, заключенная между точками (2;2) и (8;4). Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем
, .
Следовательно, данный интеграл равен

2) , где L - окружность x²+y²=a·x (a>0).
Введем полярные координаты x=r·cos(φ), y=r·sin(φ). Тогда, так как x²+y²=a·x, уравнение окружности примет вид r²=a·r·cos(φ), т.е. r=a·cos(φ), а дифференциал дуги

При этом φ∈[-^π/₂; ^π/₂]. Следовательно,

№ 4. Двойной интеграл выражает площадь области G. Вычислить площадь области G, если она ограниченна линиями: y²=2x и y=x.
Имеем . Направление, или порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже:

Сначала определим координаты точки пересечения прямой и параболы:
→ x²=2x → x₁=0, y₁=0 и x₂=2, y₂=2.
Проекция области G на ось Oy есть отрезок [0;2]. Таким образом,

Центр тяжести однородной плоской фигуры

Пусть областью D плоскости xOy является материальная пластинка, масса которой распределяется с поверхностной плотностью p=f(x,y). Тогда масса M этой пластинки вычисляется по формуле

(1)
Координаты точки C(x_c,y_c), являющейся центром тяжести этой пластинки, определяются по формулам

. (2)
Если поверхностная плотность p постоянна (пластинка однородна), то из формулы (2) следует:

, (3)
где S – площадь области D.

Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой y=x²-2x-1 и прямой y=x-1 (рис.).
Решение

Вычислим площадь S данной фигуры с помощью двойного интеграла: .
Парабола и прямая пересекаются в точках A(0,-1) и B(3,2). Область D определяется неравенствами 0≤x≤3, x²-2x-1≤y≤x-1.
Тогда