Интегрирование тригонометрических функции

Для интегрирования рациональных функций вида R(sin x, cos x) применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда . Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками.
  1. Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x)=t и тогда sin(x)dx = -dt.
  2. При R(sin(x),-cosx) = - R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt
  3. В случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t), , или замену ctg(x)=t, если это удобнее.

Интегрирование функций рационально зависящих от тригонометрических функций

1. Интегралы вида sinnxdx, cosnxdx, n>0
a) Если n нечётное, то одну степень sinx (либо cosx) следует внести под знак дифференциала, а от оставшейся чётной степени следует перейти к противоположной функции.
б) Если n чётное, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
2. Интегралы вида tgnxdx, ctgnxdx, где n – целое.
Необходимо использовать формулы

3. Интегралы вида sinnx·cosmx dx
а) Пусть m и n разной чётности. Применяем подстановку t=sin x, если n - нечётное либо t=cos x, если m – нечётное.
б) Если m и n чётные, то пользуемся формулами понижения степени
2sin2x=1-cos2x, 2cos2x=1+cos2x.
4. Интегралы вида
Если числа m и n одинаковой чётности, то используем подстановку t=tg x. Часто бывает удобным применить приём тригонометрической единицы.
5. sin(nx)·cos(mx)dx, cos(mx)·cos(nx)dx, sin(mx)·sin(nx)dx
Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в их сумму


С помощью данного онлайн-калькулятора можно вычислять интегралы по частям. Решение сохраняется в формате Word.


dx

Также рекомендуется ознакомиться с возможностью нахождения интегралов онлайн.

Примеры
1. Вычислить интеграл cos4x·sin3xdx.
Делаем замену cos(x)=t. Тогда cos4x·sin3xdx =
2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем


3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t. Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и поэтому

Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx)

Пример №1. Вычислить интегралы:

Решение.
а) Интегрирование выражений вида R(sinx, cosx), где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
Тогда имеем

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перейти от интеграла вида R(sinx, cosx) dx к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

  • Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то применяется подстановка cos x = t.
  • Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x)dx, то подстановка sin x = t.
  • Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = t или ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла
применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда

Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим

Возвращась к исходной переменной будем иметь

b) Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение R(sinx, cosx) dx имеет вид sinmx·cosnxdx. В этом частном случае, если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечетно n, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:
В данном случае

Ответ:

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект