Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Производная функции, заданная параметрически

Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:

В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).
Тогда y(x)=ψ(t(x)) – сложная функция и ее производная: . Производную тоже запишем в параметрической форме:
x =
y =

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

  1. Все переменные выражаются через t
Примеры
t^2/(1+t)
cos2(t)cos(t)^2
1+(t-1)^(2/3)

Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде

  1. Все переменные выражаются через t
Примеры
t^2/(1+t)
cos2(t)cos(t)^2
1+(t-1)^(2/3)
см. также Производная от неявной функции

Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение..

Производные высших порядков

Запишем функцию y’x в параметрической форме:
В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:
(*)
и записывали y’x тоже в параметрической форме:
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):
.
Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.

Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):
.

Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда и . Получаем

Еще раз применяем формулу (*):
.
Если требуется получить зависимость y’’’xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e-t и подставляем в y’’’xxx.
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
.
Решение.
;
.

Далее будем искать y’’xx по формуле
.
Отсюда
.
Производную второго порядка также можно было найти по формуле
.