Производная функции, заданная параметрически
Зависимость функции y от аргумента x может осуществляться через посредство третьей переменной t, называемой параметром:![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image001.gif)
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).
Тогда
y(x)=ψ(t(x))
– сложная функция и ее производная: ![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image002.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image003.gif)
Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде
- Все переменные выражаются через t
![](images/chart/t1.png)
cos2(t)
≡ cos(t)^2
![](images/chart/t2.png)
Правила ввода функции, заданной в параметрическом виде
- Все переменные выражаются через t
![](images/chart/t1.png)
cos2(t)
≡ cos(t)^2
![](images/chart/t2.png)
Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image007.gif)
Производные высших порядков
Запишем функцию y’x в параметрической форме:![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image008.gif)
В случае параметрического задания функции
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image009.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image010.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image011.gif)
К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image012.gif)
Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x запишем в параметрической форме
К этой функции снова применим формулу (*):
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image016.gif)
Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда
и
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image021.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image022.gif)
Еще раз применяем формулу (*):
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image023.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/d9_image024.gif)
Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image023.gif)
Решение.
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image024.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image027.gif)
Далее будем искать y’’xx по формуле
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image028.gif)
Отсюда
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image030.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/math/math-image031.gif)