Признаки сходимости ряда
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что:

Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.
Правила ввода данных
- В качестве переменной используйте только n.
- Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+ , - , * , / , ^ ). Например,
4n
, записываем как 4^n.


Правила ввода данных
- Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4n, записываем как 4^n.


Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .
1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.
2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.
3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.
4. Признак сравнения.
Если сходится и un ≤ vn, то
также сходится, если
расходится и un ≥ vn, то
также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется
, который
, A - произвольная постоянная величина; причем
.
Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
;
=
=
ряд сходится.
Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:
ряд сходится.
Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n2 соответственно из числителя и знаменателя.
Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:
, так как интеграл не существует, то ряд расходится.
Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом
, следовательно ряд
также сходится.