Признаки сходимости ряда

• Ввод данных
• Инструкция

С помощью данного калькулятора можно проверить сходимость ряда. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда проверются выполнение условий Лейбница.
Для степенного ряда используйте этот калькулятор.

∞ ∑ n =

Применять признак сравнения (по умолчанию)
Использовать признак Даламбера
Применять радикальный признак Коши
Интегральный признак Коши

...load... Действия

• Загрузить предыдущие

Видеоинструкция

Правила ввода данных

1. В качестве переменной используйте только n.
2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+ , - , * , / , ^ ). Например, 4n, записываем как 4^n.

Примеры
≡ n^2/(n+2)
≡ n+sqrt(n-1)

Это поле предназначено для ввода знаменателя дроби.

Правила ввода данных

1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4ⁿ, записываем как 4^n.

Примеры
≡ n^2/(n+2)
≡ n+sqrt(n-1)

Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.

2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.

3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

4. Признак сравнения.
Если сходится и u_n ≤ v_n, то также сходится, если расходится и u_n ≥ v_n, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A - произвольная постоянная величина; причем .

5. Предельный признак сравнения.

Если предел отношений исходного ряда u_n с расходимым рядом v_n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд u_n расходится.
Если предел отношений исходного ряда u_n со сходимым рядом v_n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд v_n сходится.

Схема определения сходимости или расходимости ряда

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:

ряд сходится.

Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n² соответственно из числителя и знаменателя.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:

, так как интеграл не существует, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость.
Решениие.
Исходное выражение преобразуем к виду:

Тогда исходный ряд можно представить в виде:

Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:

Применим сравнительный признак. Рассмотрим ряд: , .
Поскольку u_n≤v_n, то если ряд v_n будет сходиться, то будет сходиться и исходный u_n.
По определению этот ряд расходится, здесь α≤1.
Проведя анализ ряда можно сделать вывод, что признак сравнения здесь не применим (по условию ряд должен был сходиться, а он расходится). Поэтому продолжаем исследования далее. Используем предельный признак сравнения.
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом:

здесь
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится.
Следовательно, ряд расходится.

Ограниченность функции при n → ∞

1. cos(π n) = (-1)n
2. sin(π n) ≈ 0
3. cos(n) ≈ [-1;1]
4. sin(n) ≈ [-1;1]
5. cos2(n) ≈ [0;1]
6. sin2(n) ≈ [0;1]

Пример, :
Последовательность sin(n) ограничена [-1,1]
≤ ≤
Пример, :
≤ ≤