Признаки сходимости ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:

.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что:

.
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.

Решение онлайн
Видеоинструкция

С помощью данного калькулятора можно проверить сходимость ряда. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда проверются выполнение условий Лейбница.
Для степенного ряда

используйте этот калькулятор.

Правила ввода данных

В качестве переменной используйте только n.
Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+ , - , * , / , ^ ). Например, 4ⁿ, записываем как 4^n.

Примеры

≡ n^2/(n+2)

≡ n+sqrt(n-1)

Это поле предназначено для ввода знаменателя дроби.

Правила ввода данных

Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4ⁿ, записываем как 4^n.

Примеры

≡ n^2/(n+2)

≡ n+sqrt(n-1)

Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.

2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.

3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

4. Признак сравнения.
Если сходится и u_n ≤ v_n, то также сходится, если расходится и u_n ≥ v_n, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A - произвольная постоянная величина; причем .

5. Предельный признак сравнения.
$\lim_{n \to \infty }{\frac{u_n}{v_n}}=q$
Если предел отношений исходного ряда u_n с расходимым рядом v_n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд u_n расходится.
Если предел отношений исходного ряда u_n со сходимым рядом v_n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд v_n сходится.

Схема определения сходимости или расходимости ряда

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:

ряд сходится.

Замечание:

вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n² соответственно из числителя и знаменателя.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:

, так как интеграл не существует, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость.
Решениие.
Исходное выражение преобразуем к виду:

Тогда исходный ряд можно представить в виде:

Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:

Применим сравнительный признак. Рассмотрим ряд: , .
Поскольку u_n≤v_n, то если ряд v_n будет сходиться, то будет сходиться и исходный u_n.
По определению этот ряд расходится, здесь α≤1.
Проведя анализ ряда можно сделать вывод, что признак сравнения здесь не применим (по условию ряд должен был сходиться, а он расходится). Поэтому продолжаем исследования далее. Используем предельный признак сравнения.
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом:

здесь
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится.
Следовательно, ряд расходится.