Признаки сходимости ряда
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что:
.
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.
- Все математические операции выражаются через общепринятые символы (
+,-,*,/,^). Например, 4n, записываем как4^n. - Число π ≡ pi, корень квадратный √¯ ≡ sqrt. Например, sqrt(n^2+n), en = exp(n)
Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда 
.
1. Признак Даламбера.
Если 
, то 
при q = 1 получаем неопределенность.
2. Радикальный признак Коши.
Если 
,
при q = 1 получаем неопределенность.
3. Интегральный признак Коши.
Если 
существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.
4. Признак сравнения.
Если 
сходится и un ≤ vn, то 
также сходится, если расходится и un ≥ vn, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется 
, который 
, A - произвольная постоянная величина; причем 
.
Пример 1. Исследовать ряд 
на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
; 
;
ряд сходится.
Пример 2. Исследовать ряд 
на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:
ряд сходится.
Замечание: 
вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n2 соответственно из числителя и знаменателя.
Пример 3. Исследовать ряд 
на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:
, так как интеграл не существует, то ряд расходится.
Пример 4. Исследовать ряд 
на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с 
, который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом 
, следовательно ряд также сходится.