Признаки сходимости ряда

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что: .
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.


n =

Применять радикальный признак Коши
Правила ввода функций:
  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, 4n, записываем как 4^n.
  2. Число π ≡ pi, корень квадратный √¯ ≡ sqrt. Например, sqrt(n^2+n), en = exp(n)

Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.

2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.

3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

4. Признак сравнения.
Если сходится и un ≤ vn, то также сходится, если расходится и un ≥ vn, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A - произвольная постоянная величина; причем .

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
; ;

ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:
ряд сходится.
Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n2 соответственно из числителя и знаменателя.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:
, так как интеграл не существует, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.