Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн Пределы Признаки сходимости ряда Интервал сходимости Разложить в ряд Тейлора Второй замечательный предел Сходимость степенного ряда

Признаки сходимости ряда

Определение. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные.
Необходимый признак сходимости состоит в том, что: Необходимый признак сходимости.
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.
С помощью данного калькулятора можно проверить сходимость ряда. В случае знакопеременного или знакочередующегося ряда проверются выполнение условий Лейбница.
Для степенного ряда используйте этот калькулятор.


n =




Правила ввода данных

  1. В качестве переменной используйте только n.
  2. Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+ , - , * , / , ^ ). Например, 4n, записываем как 4^n.
Примеры
n^2/(n+2)
n+sqrt(n-1)
Это поле предназначено для ввода знаменателя дроби.

Правила ввода данных

  1. Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4n, записываем как 4^n.
Примеры
n^2/(n+2)
n+sqrt(n-1)

Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .

1. Признак Даламбера.
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.

2. Радикальный признак Коши.
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.

3. Интегральный признак Коши.
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.

4. Признак сравнения.
Если сходится и un ≤ vn, то также сходится, если расходится и un ≥ vn, то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A - произвольная постоянная величина; причем .

5. Предельный признак сравнения.

Если предел отношений исходного ряда un с расходимым рядом vn равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд un расходится.
Если предел отношений исходного ряда un со сходимым рядом vn равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд vn сходится.

Пример 1. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.

Пример 2. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим радикальный признак Коши:

ряд сходится.
Замечание: вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n2 соответственно из числителя и знаменателя.

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Применим интегральный признак Коши:

, так как интеграл не существует, то ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Сравним ряд с , который сходится, так как степень α переменной n: α=2 > 1. При этом , следовательно ряд также сходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость.
Решениие.
Исходное выражение преобразуем к виду:

Тогда исходный ряд можно представить в виде:

Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:

Применим сравнительный признак. Рассмотрим ряд: , .
Поскольку un≤vn, то если ряд vn будет сходиться, то будет сходиться и исходный un.
По определению этот ряд расходится, здесь α≤1.
Проведя анализ ряда можно сделать вывод, что признак сравнения здесь не применим (по условию ряд должен был сходиться, а он расходится). Поэтому продолжаем исследования далее. Используем предельный признак сравнения.
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом:

здесь
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится.
Следовательно, ряд расходится.