Исследование степенного ряда на сходимость
Дан степенной ряд . Написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.
Решение. - общий член ряда. Подставив в эту формулу n значения 1, 2, 3, …, можно найти любой член ряда:
,
,
.
Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: , где an – формула числовых коэффициентов. Для данного ряда
.
Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где - радиус сходимости. Вычислим его:
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image009.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image010.gif)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image011.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image012.gif)
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница:
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image013.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image014.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image015.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image016.gif)
При
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image017.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image018.gif)
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image019.gif)
Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит,
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image017.gif)
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при
![](https://www.semestr.ru/images/math/mathematics/ryd-image020.gif)