Метод понижения порядка
Назначение сервиса. Данный калькулятор предназначен для нахождения определителя матрицы методом понижения порядка в онлайн режиме с оформлением решения в Word (см. пример решения). Дополнительно создается шаблон решения в Excel.
Здесь будет отображаться решение.
Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.
Алгоритм нахождения определителя методом понижения порядка
- Методом Гаусса обнуляется текущий столбец текущей матрицы A.
- Полученная матрица раскладывается по элементам первого столбца. Получается новая матрица A.
- Если размерность матрицы A больше двух, то переходим на шаг №1, иначе находим определитель матрицы ∆22.
- Определитель исходной матрицы A равен произведению элементов матрицы aij на ∆22.
Методы вычислений определителей
- Расчет определителя через алгебраические дополнения
- Расчет определителя с помощью метода треугольников
- Нахождение определителя методом приведения к треугольному виду.
- Расчет определителя методом декомпозиции.
Примеры
Рассмотрим на подробных примерах нахождение определителей методом понижения порядка.Пример №1. Найти определитель матрицы
| A = |
|
| 1 | 2 | 8 |
| -2 | 5 | 0 |
| 2 | 5 | 4 |
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 1 | 2 | 8 |
| -2 | 5 | 0 |
| 0 | 10 | 4 |
| 1 | 2 | 8 |
| 0 | 9 | 16 |
| 0 | 10 | 4 |
Умножим 2-ую строку на (k = 10 / 9 = -10/9) и добавим к 3-ой:
| 1 | 2 | 8 |
| 0 | 9 | 16 |
| 0 | 0 | -124/9 |
| A = 1 * |
|
Пример №2. Найти определитель матрицы, используя метод понижения порядка.
| A = |
|
Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.
Умножим 3-ую строку на (k = -2 / 6 = -1/3) и добавим к 4-ой:
| 2 | 3 | -3 | 4 |
| 2 | 1 | -1 | 2 |
| 6 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 7/3 | -1/3 | -5 |
| 2 | 3 | -3 | 4 |
| 2 | 1 | -1 | 2 |
| 0 | -1 | 4 | -6 |
| 0 | 7/3 | -1/3 | -5 |
| 2 | 3 | -3 | 4 |
| 0 | -2 | 2 | -2 |
| 0 | -1 | 4 | -6 |
| 0 | 7/3 | -1/3 | -5 |
| A = 2 * |
|
| -2 | 2 | -2 |
| -1 | 4 | -6 |
| 0 | 9 | -19 |
| -2 | 2 | -2 |
| 0 | 3 | -5 |
| 0 | 9 | -19 |
| A = 2 (-2) * |
|
Пример №1. Найдем определитель с помощью калькулятора:
| A = |
|
Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.
Умножим 2-ую строку на (k = -6 / 1 = -6) и добавим к 3-ой:
| 2 | -2 | 0 |
| 1 | 8 | 2 |
| 0 | -50 | -11 |
Умножим 1-ую строку на (k = -1 / 2 = -1/2) и добавим к 2-ой:
| 2 | -2 | 0 |
| 0 | 9 | 2 |
| 0 | -50 | -11 |
| A = 2 * |
|
Определитель равен ∆ = 2 * (9*(-11) - (-50)*2) = 2
Пример №2. Найти определитель методом понижения порядка: Исходная матрица имеет вид:
| A = |
|
Преобразуем 1-ый столбец таким образом, чтобы в нем оказалось максимальное количество нулей.
Добавим 3-ую строку к 2-ой:
| 2 | 6 | 5 | 3 |
| -1 | 7 | 5 | 0 |
| 0 | 5 | 9 | 3 |
| 0 | 1 | 3 | 1 |
| 2 | 6 | 5 | 3 |
| 0 | 10 | 15/2 | 3/2 |
| 0 | 5 | 9 | 3 |
| 0 | 1 | 3 | 1 |
| A = 2 * |
|
Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 5 = -1/5) и добавим к 3-ой:
| 10 | 15/2 | 3/2 |
| 5 | 9 | 3 |
| 0 | 6/5 | 2/5 |
| 10 | 15/2 | 3/2 |
| 0 | 21/4 | 9/4 |
| 0 | 6/5 | 2/5 |
| A = 2 * 10 * |
|
Определитель равен ∆ = 2 * 10 * (21/4*2/5 - 6/5*9/4) = -12