Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Корни уравнения Интегралы онлайн Ряд Тейлора
Производная онлайн Пределы онлайн Собственные числа матрицы
Метод матриц Обратная матрица Умножение матриц

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a01x + 2a02y + a00 = 0 определяет на плоскости кривую.
Канонический вид кривой второго порядка: λ1x2 + λ2y2, причем:
а) если λ1>0; λ2>0 – эллипс, в частности, при λ12 это окружность;
б) если λ1>0, λ2<0 (λ1<0, λ2>0) имеем гиперболу;
в) если λ1=0 либо λ2=0, то кривая является параболой.

Назначение сервиса. Онлайн-калькулятор служит для преобразования уравнение второго порядка к каноническому виду.

Инструкция. Заполните коэффициенты при соответствующих переменных и нажмите кнопку Решение.
x2x•yy2xy1


Например, для уравнения 1/2x2 + 5xy + 10y2 - 2/3x + y - 11 = 0, необходимо будет ввести коэффициенты: 1/2, 5, 10, -2/3, 1, -11. Корень числа вводится как sqrt. например, sqrt(2).
Если уравнение задано в виде 4y=-6-sqrt(4x-x2), то предварительно его необходимо преобразовать (см. примеры ниже).

Пример №1. Привести уравнение второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и параллельного переноса осей координат. Построить кривую.

Пример №2. Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой.

Алгоритм перехода кривой второго порядка к каноническому виду

1. Переход к системе координат с осями x2=0, y2=0.
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
2. Построение в полученной системе координат графика функции.
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
Окончательный вариант графика:
Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример №1. 4y=-6-sqrt(4x-x2)
sqrt(4x-x2) = -(4y+6)
Возведем в квадрат
4x-x2 = (4y+6)2
Раскрывая скобки, получаем:
16y2+48y + 36 +x2-4x = 0

Далее решается калькулятором. Если самостоятельно решать, то получим:
4x-x2 = (4y+6)2
-(x2 - 4x) = 2(y+3/2)2
-(x2 - 4x + 4) = (y+3/2)2
-(x - 2) 2 = (y+3/2)2
(y+3/2)2 + (x - 2)2 = 0

Пример №2. x=1-2/3 sqrt(y2-4y-5)
Здесь надо сначала привести к нормальному виду.
3/2(x-1)=sqrt(y2-4y-5)
Возводим в квадрат
9/4(x-1)2=y2-4y-5
9/4x2-9/4*2x+9/4-y2+4y+5=0
9/4x2-9/2x-y2+4y+29/4=0

Далее можно решать как с калькулятором, так и без него:
9/4(x-1)2=y2-4y-5
9/4(x-1)2=y2-4y+4-4-5
9/4(x-1)2=(y2-2)-9
9/4(x-1)2-(y2-2) = -9
-1/4(x-1)2+1/9(y2-2) = 1