Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Работа силы F при перемещении вдоль дуги линии

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для нахождения работы силы F при перемещении вдоль дуги линии L.
F = i + j
Вдоль
от точки M0(;) до точки M1(;)

Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода

Рассмотрим многообразие σ. Пусть τ(x,y,z)- единичный вектор касательной к σ, если σ - кривая, а n(x,y,z)- единичный вектор нормали к σ, если σ - поверхность в R3. Введём векторы dl=τ·dl и dS=n·dS, где dl и dS - длина и площадь соответствующего участка кривой или поверхности. Будем считать, что =dl, если σ - кривая, и =dS, если σ - поверхность. Назовём ориентированной мерой соответствующего участка кривой или поверхности.

Определение. Пусть заданы ориентированное непрерывное кусочно-гладкое многообразие σ и на σ – вектор-функция F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y,z). Разобьем многообразие на части многообразиями меньшей размерности (кривую – точками, поверхность –кривыми), внутри каждого полученного элементарного многообразия выберем по точке M0(x0,y0,z0), M1(x1,y1,z1), ... ,Mn(xn,yn,zn). Посчитаем значения F(xi,yi,zi), i=1,2,...,n вектор-функции в этих точках,умножим скалярно эти значения на ориентированную меру i данного элементарного многообразия (ориентированные длину или площадь соответствующего участка многообразия) и просуммируем. Предел полученных сумм если онсуществует, не зависит от способа разбиения многообразия на части и выбора точек внутри каждого элементарного многообразия, при условии, что диаметр элементарного участка стремится к нулю, называется интегралом по многообразию (криволинейным интегралом, если σ -кривая и поверхностным, если σ - поверхность) второго рода, интеграломвдоль ориентированного многообразия, или интегралом от вектора F вдоль σ, и обозначается в общем случае, в случаях криволинейного и поверхностного интегралов соответственно.
Заметим, что если F(x,y,z) - сила, то - работа этой силы по перемещению материальной точки вдоль кривой, если F(x,y,z) - стационарное (не зависящее от времени) поле скоростей текущей жидкости, то - количество жидкости, протекающей через поверхность S в единицу времени (поток вектора через поверхность).
Если кривая задана параметрически или, что то же самое, в векторной форме,


то


и для криволинейного интеграла второго рода имеем


Так как dS=n·dS=(cosα, cosβ, cosγ), где cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы единичного вектора нормали n и cosαdS=dydz, cosβdS=dxdz, cosγdS=dxdy, то для поверхностного интеграла второго рода получаем

Если поверхность задана параметрически или, что тоже самое, в векторной форме
r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D
то

где - якобианы (определители матриц Якоби, или, что то же самое, матриц производных) вектор-функций соответственно.

Если поверхность S может быть задана одновременно уравнениями то поверхностный интеграл второго рода вычисляется по формуле

где D1, D2, D3 - проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно и знак “+” берётся, если угол между вектором нормали и осью, вдоль которой ведётся проектирование, острый, а знак “–“, если этот угол тупой.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода

Отметим некоторые свойства криволинейного и поверхностного интегралов второго рода.
Теорема 1. Криволинейный и поверхностный интегралы 2-го рода зависят от ориентации кривой и поверхности, точнее
.

Теорема 2. Пусть σ=σ1∪σ2 и размерность пересечения dlim(σ1∩σ2)=n-1. Тогда


Доказательство. Включив в число многообразий разбиения в определении интеграла по многообразию второго рода общую границу σ1 с σ2 получаем требуемое.

Пример №1. Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M0 до точки M1.
F=x2yi+yj;, L: отрезок M0M1
M0(-1;3), M0(0;1)
Решение.
Находим уравнение прямой вдоль отрезка M0M1.
или y=-2x+1
dy=-2dx

Пределы изменения x: [-1; 0]

Пример №2. Вычислить вдоль кривой , если t∈[0;π]
Имеем

Пример №3. Вычислить поток вектора f(x,y,z)=(yz,xz,xy)T через часть плоскости x+y+z=a лежащую в первом октанте.
Поток вектора через поверхность равен поверхностному интегралу второго рода Поверхность однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Поэтому интеграл может быть вычислен с помощью проектирования на них. Тогда


где S1, S2, S3 - проекции поверхности S на координатные плоскости Y0Z, X0Z, X0Y соответственно. Посчитаем первый из них. Имеем Остальные два интеграла считаются аналогично и также равны Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями. Поэтому поток вектора через поверхность равен Знаки плюс перед интегралами взяты потому, что вектор нормали к поверхности составляет острые углы со всеми координатными осями.