Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Собраны наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика.
Подробнее
Примеры решений Интервал сходимости ряда Оригинал и его изображение Найти предел Точки разрыва функции Диф уравнения онлайн Разложение в ряд Фурье Разложение в ряд Тейлора Найти производную

Комплексные числа

Комплексное число в тригонометрической форме:
z=|z|[cos(φ+2πk)+i·sin(φ+2πk)]

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).

Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z=x+i*y.
z =

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы +, -, *, /.
Примеры
1/2+sqrt(3)*I

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π: аргумент комплексного числа

см. также Как извлечь корень из комплексного числа

Действия с комплексными числами


z2=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
Вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)
Деление комплексных чисел

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).

Возведение в степень. Формула Муавра

Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти
Решение.


=218(cos6π + i*sin6π)=218=262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i)2 = 2i, а затем 2i988/2 = 2i494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме.
Примечание:
  • abs - модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
  • arg - аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

z=-1-4i
Базовая формула:
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]
где φ=arctg((-4)/(-1));
Алгоритм
  1. находим угол φ.
  2. находим модуль |z| = sqrt(x2 + y2).
1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x<0, y<0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x2+y2=4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x2+y2=4

Выразим и подставим в первое выражение:


Поскольку , то получаем:
или или .

Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,