Комплексные числа

Комплексное число в тригонометрической форме:
z=|z|[cos(φ+2πk)+i sin(φ+2πk)]

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).

Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z=x+i*y.
z =

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы +, -, *, /.
Примеры
1/2+sqrt(3)*I

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π: аргумент комплексного числа

см. также Как извлечь корень из комплексного числа

Действия с комплексными числами


z2=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
Вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)
Деление комплексных чисел

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).

Возведение в степень. Формула Муавра

Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти
Решение.


=218(cos 6π+i sin 6π)=218=262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i)2 = 2i, а затем 2i988/2 = 2i494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме. Примечание:

  • abs - модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
  • arg - аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

z=-1-4i
Базовая формула:
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]
где φ=arctg((-4)/(-1));
Алгоритм
  1. находим угол φ.
  2. находим модуль |z| = sqrt(x2 + y2).
1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x<0, y<0, то arg(z) находим как:

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x2+y2=4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x2+y2=4

Выразим и подставим в первое выражение:


Поскольку , то получаем:
или или .

Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,

Задать вопрос или оставить комментарий Помощь в решении Поиск Поддержать проект