Комплексные числа
Комплексное число в тригонометрической форме:z=|z|[cos(φ+2πk)+i·sin(φ+2πk)]
Комплексное число в показательной форме: z=|z|eiφ
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).
Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.
z=x+i*y
.
Правила ввода функции
Все математические операции выражаются через общепринятые символы +, -, *, /.Примеры
![](images/chart/complex1.png)
![](images/word-complex.webp)
Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:
см. также Как извлечь корень из комплексного числа
Действия с комплексными числами
![](images/chart/complex2.png)
z2=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
![Сложение комплексных чисел Сложение комплексных чисел](images/complex-numbers-image002.gif)
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
![Вычитание комплексных чисел Вычитание комплексных чисел](images/complex-numbers-image003.gif)
Умножение комплексных чисел
![Умножение комплексных чисел Умножение комплексных чисел](images/complex-numbers-image004.gif)
Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)
![Деление комплексных чисел Деление комплексных чисел](images/complex-numbers-image005.gif)
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]
Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:
Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i).
![](images/chart/complex5.png)
Возведение в степень. Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример. Найти
Решение.
![](images/chart/complex8.png)
Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988
. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i)2 = 2i
, а затем (2i)988/2 = (2i)494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494
Примечание:
- abs - модуль комплексного числа |z|. Пример:
abs(-5.5-6.6i)
- arg - аргумент комплексного числа φ. Пример:
arg(5.5+6.6i)
Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
z=-1-4i
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]
Алгоритм
- находим угол φ.
- находим модуль
|z| = sqrt(x2 + y2)
.
z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа:
x = Re(z) = -1
Мнимая часть:
y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:
![](images/chart/complex9.png)
Поскольку x<0, y<0, то arg(z) находим как:
![](images/chart/complex10.png)
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа
z=-1-4i
![](images/chart/complex11.png)
2. Находим показательную форму комплексного числа
![](images/chart/complex12.png)
Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.
Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или
x2+y2=4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x2+y2=4
Выразим и подставим в первое выражение:
Поскольку , то получаем:
или
или
.
Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,