Алгебраическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа выглядит так: z = x + i*y, где x - действительная часть комплексного числа, y - мнимая часть.

Назначение. Онлайн калькулятор предназначен для представления комплексного числа в алгебраической форме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

Решение онлайн
Видеоинструкция

Пример №1. Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения w³ + z = 0.
Решение находим с помощью калькулятора. z = 2sqrt(2)/(1+i). Преобразуем число в алгебраическую и тригонометрическую форму с помощью данного сервиса. После преобразований получим:
Алгебраическая форма записи:
z = 2sqrt(2)/(1+i) = 2sqrt(2)(1-i)/((1+i)(1-i)) = 2sqrt(2)(1-i)/2 = sqrt(2) - i*sqrt(2)
Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 2*sqrt(2)/(1+I)
$x = Re(z) = \sqrt{2}$ , $y = Im(z) = -\sqrt{2}$ $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{\sqrt{2}^{2} + (-\sqrt{2})^{2}} = 2$
Поскольку x > 0, y < 0, то arg(z) находим как:
$arg(z) = \phi = 2\pi - arctg(\frac{|y|}{x})$
$\phi = 2\pi - arctg \frac{|(-\sqrt{2})|}{\sqrt{2}} = -\pi/4$
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = 2*sqrt(2)/(1+I)
$z = 2(cos(-\pi/4) + i sin (-\pi/4))$

Получаем уравнение w³ + z = 0 или w = (-z)^1/3 = (-sqrt(2) + i*sqrt(2))^1/3.
Далее решаем с помощью этого сервиса. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)
$x = Re(z) = -\sqrt{2}$ , $y = Im(z) = \sqrt{2}$
$|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(-\sqrt{2})^{2} + \sqrt{2}^{2}} = 2$
Поскольку x < 0, y >= 0, то arg(z) находим как:
$arg(z) = \phi = \pi - arctg(\frac{y}{|x|})$
$\phi = \pi - arctg \frac{\sqrt{2}}{|(-\sqrt{2})|} = 3*\pi/4$
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -sqrt(2)+I*sqrt(2)
$z = 2(cos(3*\pi/4) + i sin (3*\pi/4))$
Извлекаем
$z_{k} = \sqrt[3]{z} = \sqrt[3]{|z|}(cos(\frac{\phi + 2\pi k}{3}) + i sin(\frac{\phi + 2\pi k}{3})), k = 0, 1, 2$
k = 0
$z_{0} = \sqrt[3]{|z|}(cos(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*0}{3}) + i sin(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*0}{3}))$
$z_{0} = \sqrt[3]{2}(cos({1 \over 4}*\pi) + i sin({1 \over 4}*\pi))$
или
$z_{0} = \sqrt[3]{2}({1 \over 2} \sqrt{2} + {1 \over 2} \sqrt{2} i)$
k = 1
$z_{1} = \sqrt[3]{|z|}(cos(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*1}{3}) + i sin(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*1}{3}))$
$z_{1} = \sqrt[3]{2}(cos({11 \over 12}*\pi) + i sin({11 \over 12}*\pi))$
или
$z_{1} = \sqrt[3]{2}(-cos({1 \over 12}*\pi) + sin({1 \over 12}*\pi) i)$
k = 2
$z_{2} = \sqrt[3]{|z|}(cos(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*2}{3}) + i sin(\frac{3*\pi/4 + 2\pi*2}{3}))$
$z_{2} = \sqrt[3]{2}(cos({19 \over 12}*\pi) + i sin({19 \over 12}*\pi))$
или
$z_{2} = \sqrt[3]{2}(cos({5 \over 12}*\pi) -sin({5 \over 12}*\pi) i)$

Пример №2. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³ + a = 0.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №3. Число записать в алгебраической форме.
Решение. так как i⁸² = i^4*20+2= -1, i³⁷= i^4*9+1= i, i⁴⁴= i^4*11=1, i⁵¹=i^4*12+3 = -i, то
, поэтому

Пример №4. Записать число в алгебраической форме
Решение.
Модуль числа |z|=3, аргумент argz = 5/3π

, x > 0 , y < 0

, откуда

Имеем

Подставим y в первое уравнение

Поскольку x > 0 , y < 0, то

Пример №5. Записать число в алгебраической форме
Решение.
Модуль числа |z|= , аргумент argz = 5/4π

, x < 0 , y < 0

, откуда

Имеем

y=x
Подставим y в первое уравнение

x=1, y = 1
Поскольку x < 0 , y < 0, то z=-1-i

Новые калькуляторы

Алгебраическая форма записи комплексного числа