Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Упростить выражение
Калькуляторы по этой теме
Собраны наиболее популярные калькуляторы по дисциплине Высшая математика.
Подробнее
Примеры решений Производная онлайн Интегралы онлайн Уравнения Бернулли xydx + (x+1)dy = 0 y'' - 3y' + 2y = 0 (y')2+2yy'' = 0 Диф уравнения онлайн Системы дифф уравнений Метод вариации постоянной

Уравнения высших порядков

Дифференциальным уравнением n-го порядка назовём уравнение вида

F(x,y,y',…,y(n)) = 0. (5.18)

Если это уравнение удаётся представить в виде

y(n) = f(x,y,…,y(n-1)), (5.19)

то его называют дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Решением уравнения n-го порядка будет семейство функций вида y = φ(x,C1,C2,…,Cn). Для того, чтобы из этого семейства выделить конкретное решение, нужно на функцию φ наложить некоторые ограничения.

Чаще всего задают начальные условия, то есть условия вида

(5.20)

В этом случае задача о выделении конкретного решения носит название задачи Коши, которая заключается в нахождении решения уравнения (5.19), удовлетворяющего начальным условиям (5.20).

Справедлива следующая теорема.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f(x,y1, …, yn) непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условиям Липшица по переменным y1,y2,…,yn, то найдётся окрестность точки x0, в которой решение уравнения (5.19), удовлетворяющее начальным условиям (5.20), существует и единственно.

Возможны другие постановки задач о выделении решений. Рассмотрим некоторые из них.

Многоточечная задача. Возьмем точки xi, 1≤i≤n. Положим y(xi) = yi. Требуется найти решение уравнения (5.18), удовлетворяющее условиям

αiy(xi) + βy'(xi) = γi. (5.21)

Краевая задача. Для уравнения второго порядка можно поставить задачу о нахождении решения уравнения F(x,y,y',y'')=0, удовлетворяющего условиям

(5.22)

Для поставленных задач можно сформулировать и доказать свои теоремы существования, единственности и другие результаты подобного типа о выделении конкретных решений. В частности, весьма интересной является задача Штурма-Лиувилля для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями, которая подробно рассматривается при разложении функций в обобщённый ряд Фурье по ортогональным системам функций.

Мы подробно рассмотрим задачу Коши.

Определение. Общим решением уравнения (5.18) назовём функцию y(x,C1,C2,..,Cn), содержащую n постоянных, которые можно подобрать так, чтобы удовлетворить любой, заранее выбранный набор начальных условий (5.20).

Решить уравнения высших порядков онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.