Уравнения высших порядков

F(x,y,y',…,y⁽ⁿ⁾) = 0. (5.18)

Если это уравнение удаётся представить в виде

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,…,y^(n-1)), (5.19)

то его называют дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной.

Решением уравнения n-го порядка будет семейство функций вида y = φ(x,C₁,C₂,…,C_n). Для того, чтобы из этого семейства выделить конкретное решение, нужно на функцию φ наложить некоторые ограничения.

Справедлива следующая теорема.

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция f(x,y₁, …, y_n) непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет условиям Липшица по переменным y₁,y₂,…,y_n, то найдётся окрестность точки x₀, в которой решение уравнения (5.19), удовлетворяющее начальным условиям (5.20), существует и единственно.

Возможны другие постановки задач о выделении решений. Рассмотрим некоторые из них.

Многоточечная задача. Возьмем точки x_i, 1≤i≤n. Положим y(x_i) = y_i. Требуется найти решение уравнения (5.18), удовлетворяющее условиям

α_iy(x_i) + βy'(x_i) = γ_i. (5.21)

Краевая задача. Для уравнения второго порядка можно поставить задачу о нахождении решения уравнения F(x,y,y',y'')=0, удовлетворяющего условиям

(5.22)

Для поставленных задач можно сформулировать и доказать свои теоремы существования, единственности и другие результаты подобного типа о выделении конкретных решений. В частности, весьма интересной является задача Штурма-Лиувилля для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с однородными краевыми условиями, которая подробно рассматривается при разложении функций в обобщённый ряд Фурье по ортогональным системам функций.

Мы подробно рассмотрим задачу Коши.

Определение. Общим решением уравнения (5.18) назовём функцию y(x,C₁,C₂,..,C_n), содержащую n постоянных, которые можно подобрать так, чтобы удовлетворить любой, заранее выбранный набор начальных условий (5.20).

Решить уравнения высших порядков онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.