Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Если существует функция u(x,y) такая, что du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно записать в виде du(x,y)=0.
Тогда его общий интеграл имеет вид u(x,y)=C.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

=

Примеры
1. Дифференциальное уравнение xdy+ydx=0 является уравнением в полных дифференциалах, так как d(xy)= xdy+ydx. Поэтому xy=C есть общее решение этого уравнения.
2. Аналогично для уравнения 2xydx+x2dy=0 выражение x2y=C есть общее решение, так как левая часть этого уравнения является дифференциалом функции u(x,y)=x2y.
Сравнивая с определением потенциальности поля (M,N)T, получаем справедливость следующего результата.

Теорема. Уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда поле (M,N)T потенциально, или, что тоже самое, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Следствие. Если существуют непрерывные производные то уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда
Следствие даёт возможность выяснить является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах или нет. Теорема позволяет найти решение уравнения в случае положительного ответа на предыдущий вопрос.

Примеры
1. Найти общее решение уравнения 2xydx+(x2-y2)dy=0. Так как то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, восстанавливая потенциал, получаем
Тогда общий интеграл (общее решение) имеет вид
2. Уравнение e-ydx-(2y+xe-y)dy=0 также является уравнением в полных дифференциалах, так как


Поэтому, восстанавливая потенциал, имеем

Следовательно, общий интеграл уравнения равен: -y2+xe-y=C.

Открыть диалог Discus Помощь в решении контрольных