Эллипс
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Решить онлайн
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Если существует функция u(x,y) такая, что du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно записать в виде du(x,y)=0.
Тогда его общий интеграл имеет вид u(x,y)=C.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и для поиска интегрирующего множителя.

=

Примеры
1. Дифференциальное уравнение xdy+ydx=0 является уравнением в полных дифференциалах, так как d(xy)= xdy+ydx. Поэтому xy=C есть общее решение этого уравнения.
2. Аналогично для уравнения 2xydx+x2dy=0 выражение x2y=C есть общее решение, так как левая часть этого уравнения является дифференциалом функции u(x,y)=x2y.
Сравнивая с определением потенциальности поля (M,N)T, получаем справедливость следующего результата.

Теорема. Уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда поле (M,N)T потенциально, или, что тоже самое, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Следствие. Если существуют непрерывные производные то уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда
Следствие даёт возможность выяснить является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах или нет. Теорема позволяет найти решение уравнения в случае положительного ответа на предыдущий вопрос.

Примеры
1. Найти общее решение уравнения 2xydx+(x2-y2)dy=0. Так как то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, восстанавливая потенциал, получаем
Тогда общий интеграл (общее решение) имеет вид
2. Уравнение e-ydx-(2y+xe-y)dy=0 также является уравнением в полных дифференциалах, так как


Поэтому, восстанавливая потенциал, имеем

Следовательно, общий интеграл уравнения равен: -y2+xe-y=C.

Онлайн-университет
Профессии с трудоустройством. Наши направления:
√ Программирование и Дизайн
√ Маркетинг и Управление
√ Игры и Мультимедиа
Программа курсов
Редактор формул онлайн
Удобный редактор формул для Word, Latex и Web.
Редактор формул онлайн
Подробнее
Финансовый анализ онлайн
Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия:
· Оценка имущественного положения
· Анализ ликвидности и платежеспособности
· Анализ финансовой устойчивости
· Анализ рентабельности и оборачиваемости
· Анализ движения денежных средств
· Анализ финансовых результатов и многое другое
Подробнее
Курсовые на заказ