Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Уравнения в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Если существует функция u(x,y) такая, что du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. В этом случае его можно записать в виде du(x,y)=0.
Тогда его общий интеграл имеет вид u(x,y)=C.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

=

Примеры
1. Дифференциальное уравнение xdy+ydx=0 является уравнением в полных дифференциалах, так как d(xy)= xdy+ydx. Поэтому xy=C есть общее решение этого уравнения.
2. Аналогично для уравнения 2xydx+x2dy=0 выражение x2y=C есть общее решение, так как левая часть этого уравнения является дифференциалом функции u(x,y)=x2y.
Сравнивая с определением потенциальности поля (M,N)T, получаем справедливость следующего результата.

Теорема. Уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда поле (M,N)T потенциально, или, что тоже самое, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.
Следствие. Если существуют непрерывные производные то уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах тогда и только тогда, когда
Следствие даёт возможность выяснить является ли уравнение уравнением в полных дифференциалах или нет. Теорема позволяет найти решение уравнения в случае положительного ответа на предыдущий вопрос.

Примеры
1. Найти общее решение уравнения 2xydx+(x2-y2)dy=0. Так как то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому, восстанавливая потенциал, получаем
Тогда общий интеграл (общее решение) имеет вид
2. Уравнение e-ydx-(2y+xe-y)dy=0 также является уравнением в полных дифференциалах, так как


Поэтому, восстанавливая потенциал, имеем

Следовательно, общий интеграл уравнения равен: -y2+xe-y=C.