Уравнения с правой частью специального вида

Общее решение y_ОН линейного неоднородного дифференциального уравнения L(y)=b(x) есть сумма общего решения y_ОО соответствующего однородного уравнения L(y) = 0 и какого - либо частного решения y_ЧН исходного неоднородного уравнения. Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида это частное решение может быть найдено достаточно просто.

Функцию , где P_j(x) - некоторые полиномы (многочлены), назовём квазиполиномом. По теореме о наложении решений, если y_j , j=1,2,..,m - решения уравнений L(y) = b_j(x), то есть решение уравнения . Поэтому, не умаляя общности, будем считать, что правая часть уравнения L(y) = b(x) с постоянными коэффициентами имеет вид b(x) = P(x)e^λx. В частности, если λ=α+βi - комплексное число, то наиболее общей правой частью указанного типа является функция

(1)

у которой P(x)и Q(x)- некоторые полиномы. Справедлив следующий результат.

Теорема. Линейное дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами и правой частью вида (1) имеет частное решение

,

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x) , S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x) , Q(x).

Примеры:

1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax+B
4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp, Ax+B