Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)

Пример 1.

y'' +4y' - 12y = 8sin(2x)


Решение уравнения будем искать в виде y = erx находим с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +4 r - 12 = 0
D = 42 - 4 • 1 • (-12) = 64


Корни характеристического уравнения:
r1 = 2
r2 = -6
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:


Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 8•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 8, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y'' = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' -12y = (-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) + 4(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) -12(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 8•sin(2•x)
или
-8•A•sin(2x)-16•A•cos(2x)-16•B•sin(2x)+8•B•cos(2x) = 8•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-8A -16B = 8
-16A + 8B = 0
Решая ее, методом Гаусса находим:
A = -1/5;B = -2/5;
Частное решение имеет вид:
y* = -1/5cos(2x) -2/5sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2.
4y’’ -8y’ + 5y = 5cos(x)
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
4 r2 -8 r + 5 = 0
D = (-8)2 - 4 • 4 • 5 = -16


Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r1 = 1 + 1/2i
r1 = 1 - 1/2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = excos(1/2x)
y2 = exsin(1/2x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 5cos(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y* = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y' = Bcos(x)-Asin(x)
y'' = -Acos(x)-Bsin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
4y'' -8y' + 5y = 4(-Acos(x)-Bsin(x)) -8(Bcos(x)-Asin(x)) + 5(Acos(x) + Bsin(x)) = 5cos(x)
или
8Asin(x)+Acos(x)+Bsin(x)-8Bcos(x) = 5cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
8A + B = 0
A -8B = 5
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1/13;B = -8/13;
Частное решение имеет вид:
y* = 1/13cos(x) + -8/13sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример 3.
y''+3y'+2y=-24e-4x-20sin(2x)
Решаем в два этапа:
а) y''+3y'+2y=-24e-4x
б) y''+3y'+2y=-20sin(2x)
Затем объединяем полученные решения.

см. также:

  1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
  3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)
  4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
  5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B