Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)

Пример 1.

y'' +4y' - 12y = 8sin(2x)

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx находим с помощью калькулятора. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² +4 r - 12 = 0
D = 4² - 4 • 1 • (-12) = 64

Корни характеристического уравнения:
r₁ = 2
r₂ = -6
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 8•sin(2•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 8, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 0 + 2i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y^* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)
y'' = -4(A•cos(2x)+B•sin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' -12y = (-4(A•cos(2x)+B•sin(2x))) + 4(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) -12(Acos(2x) + Bsin(2x)) = 8•sin(2•x)
или
-8•A•sin(2x)-16•A•cos(2x)-16•B•sin(2x)+8•B•cos(2x) = 8•sin(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
-8A -16B = 8
-16A + 8B = 0
Решая ее, методом Гаусса находим:
A = ^-1/₅;B = ^-2/₅;
Частное решение имеет вид:
y^* = -¹/₅cos(2x) -²/₅sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 2.
4y’’ -8y’ + 5y = 5cos(x)
Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
4 r² -8 r + 5 = 0
D = (-8)² - 4 • 4 • 5 = -16

Корни характеристического уравнения:
(комплексные корни):
r₁ = 1 + ¹/₂i
r₁ = 1 - ¹/₂i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e^xcos(¹/₂x)
y₂ = e^xsin(¹/₂x)
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 5cos(x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x^ke^αx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 5, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α + βi = 0 + 1i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y^* = Acos(x) + Bsin(x)
Вычисляем производные:
y' = Bcos(x)-Asin(x)
y'' = -Acos(x)-Bsin(x)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
4y'' -8y' + 5y = 4(-Acos(x)-Bsin(x)) -8(Bcos(x)-Asin(x)) + 5(Acos(x) + Bsin(x)) = 5cos(x)
или
8Asin(x)+Acos(x)+Bsin(x)-8Bcos(x) = 5cos(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
8A + B = 0
A -8B = 5
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = ¹/₁₃;B = ^-8/₁₃;
Частное решение имеет вид:
y^* = ¹/₁₃cos(x) + ^-8/₁₃sin(x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример 3.
y''+3y'+2y=-24e^-4x-20sin(2x)
Решаем в два этапа:
а) y''+3y'+2y=-24e^-4x
б) y''+3y'+2y=-20sin(2x)
Затем объединяем полученные решения.

см. также:

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)

Правила ввода данных

Поиск

Процесс

Сообщение