Построить график функции Точки разрыва функции Построение графика методом дифференциального исчисления Создание схемы логических элементов
Примеры решений Ранг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса
Найти производную Найти интеграл Решение СЛАУ методом Крамера
Диф уравнения онлайн Определитель матрицы Точки разрыва функции

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)

Пример 1. y''' - 2y'' - 24y' = (x+5)e6x
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx через онлайн сервис. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r3-2r2-24r = 0
Вынесем r за скобку. Получим:
r(r2-2r-24) = 0
Здесь r1 = 0. Найдем остальные корни.
r2 -2 r - 24 = 0
D = (-2)2 - 4 • 1 • (-24) = 100


Корни характеристического уравнения:
r1 = 0
r2 = 6
r3 = -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e0x
y2 = e6x
y3 = e-4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = (x+5)e6x
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x+5, Q(x) = 0, α = 6, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 6 + 0i является корнем характеристического уравнения кратности k = 1(r2).
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y' = e6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)
y'' = 2•e6x(18•A•x2+12•A•x+A+18•B•x+6•B)
y''' = 36•e6x(6•A•x2+6•A•x+A+6•B•x+3•B)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y''' -2y'' -24y' = (36•e6x(6•A•x2+6•A•x+A+6•B•x+3•B)) -2(2•e6x(18•A•x2+12•A•x+A+18•B•x+6•B)) -24(e6x(2•A•x(3•x+1)+6•B•x+B)) = (x+5)•e6•x
или
120Ax e6•x +32A e6•x + 60B e6•x = (x+5)•e6•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
120A = 1
32A + 60B = 5
Решая ее, находим:
A = 1/120; B = 71/900

Частное решение имеет вид:
y* = x ((1/120x+ 71/900)e6x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C1 + C2e6x + C3e-4x + x ((1/120x+ 71/900)e6x)

Перейти к онлайн решению своей задачи

см. также:

  1. Сборник решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть cos(x),sin(x)
  3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть ex*(Ax + B)
  4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть exp(x),cos(x),sin(x)
  5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B