Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши (5.2), (5.6) для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение уравнения y'=f(x,y), удовлетворяющее условию y(x0)=y0. Пусть y(x)- решение поставленной задачи Коши. Подставив это решение в уравнение (5.2), получим тождество y'(x) ≡ f(x,y(x)). Интегрируя это тождество по x, получаем
,
или, что тоже самое,
. (5.15)
Таким образом, мы показали, что всякое решение задачи Коши (5.2), (5.6) есть решение интегрального уравнения (5.15). С другой стороны, если y(x)- решение интегрального уравнения (5.15), то дифференцируя (5.15) по x, получаем, что y(x)- решение задачи Коши (5.2), (5.6).
Решение интегрального уравнения (5.15) будем искать с помощью метода последовательных приближений. Положим
y0(x)=y0,
. (5.16)
Если оператор
- (5.17)
сжимающий [12], то последовательные приближения (5.16) сходятся к решению интегрального уравнения (5.15), а, следовательно и дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющего условию y(x0) = y0. Желающие могут познакомиться с доказательством сжимаемости оператора (5.17) в [12].
Пример №1. Найдём с помощью метода последовательных приближений решение уравнения y' = y, удовлетворяющее условию y(0)=1. Подставляя y(0)=1 в (5.16), получаем
y0=1,
…,
С другой стороны, решая исходную задачу Коши, имеем y = ex.
Таким образом, нами получено разложение функции ex в ряд Тейлора в нуле (ряд Маклорена).
Перейдём теперь к изложению численного метода Эйлера решения задачи Коши (5.2), (5.6). Разобьём отрезок [a,b], на котором мы ищем решение, на части точками x0 = a<x1<…<xn = b. Положим yi=y(xi), hi = xi+1 - xi, 0≤i≤n. Так как по определению производной 
то заменяя производную y'(xi) конечной разностью 
в уравнении (5.2), получаем 
, или, что то же самое,
yi+1 = yi + h·f(xi, yi), (5.17)
Соотношение (5.17) является расчётной формулой метода Эйлера численного решения задачи Коши (5.2), (5.6). Вычислив yi , i = 0,1,..,n получим таблицу значений решения в точках xi , i = 0,1,..,n Для оценки погрешности на одном шаге сетки в методе Эйлера разложим точное решение y(x) по формуле Тейлора в окрестности точки xi до членов второго порядка малости
y(xi+1)=y(xi+h)=y(xi)+y'(xi)h+o(h2)=yi+hf(xi,yi)+o(h2).
Сравнивая с (5.17) видим, что погрешность формулы (5.17) равна o(h2). К сожалению, метод Эйлера накапливает ошибку от шага к шагу. Поэтому на практике пользуются либо модификациями метода Эйлера, например методом прогноза и коррекции [14], либо другими методами, в частности методом Рунге-Кутта [14].