Пример нахождения коэффициента корреляции

Другие варианты формул:
или

К_xy - корреляционный момент (коэффициент ковариации)

Для нахождения линейного коэффициента корреляции Пирсона необходимо найти выборочные средние x и y, и их среднеквадратические отклонения σ_x = S(x), σ_y = S(y):

Рассчитать свое значение

Свойства коэффициента корреляции

1. |r_xy| ≤ 1;, -1≤x≤1
2. если X и Y независимы, то r_xy=0, обратное не всегда верно;
3. если |r_xy|=1, то Y=aX+b, |r_xy(X,aX+b)|=1, где a и b постоянные, а ≠ 0;
4. |r_xy(X,Y)|=|r_xy(a₁X+b₁, a₂X+b₂)|, где a₁, a₂, b₁, b₂ – постоянные.

Поэтому для проверки направления связи выбирается проверка гипотезы при помощи коэффициента корреляции Пирсона с дальнейшей проверкой на достоверность при помощи t-критерия (пример см. ниже).

• Ввод данных
• Инструкция
• Оформление Word
• Типовые задачи

Инструкция. Укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. Пример нахождения уравнения регрессии). Также автоматически создается шаблон решения в Excel. Подробнее.

Количество строк (исходных данных)
Заданы итоговые значения величин (∑x, ∑x², ∑xy, ∑y, ∑y²)
...load...

Видеоинструкция

Типовые задания (см. также нелинейная регрессия)

Типовые задания
Исследуется зависимость производительности труда y от уровня механизации работ x (%) по данным 14 промышленных предприятий. Статистические данные приведены в таблице.
Требуется:
1) Найти оценки параметров линейной регрессии у на х. Построить диаграмму рассеяния и нанести прямую регрессии на диаграмму рассеяния.
2) На уровне значимости α=0.05 проверить гипотезу о согласии линейной регрессии с результатами наблюдений.
3) С надежностью γ=0.95 найти доверительные интервалы для параметров линейной регрессии.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии

Пример. На основе данных, приведенных в Приложении 1 и соответствующих Вашему варианту (таблица 2), требуется:

1. Рассчитать коэффициент линейной парной корреляции и построить уравнение линейной парной регрессии одного признака от другого. Один из признаков, соответствующих Вашему варианту, будет играть роль факторного (х), другой – результативного (y). Причинно-следственные связи между признаками установить самим на основе экономического анализа. Пояснить смысл параметров уравнения.
2. Определить теоретический коэффициент детерминации и остаточную (необъясненную уравнением регрессии) дисперсию. Сделать вывод.
3. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии в целом на пятипроцентном уровне с помощью F-критерия Фишера. Сделать вывод.
4. Выполнить прогноз ожидаемого значения признака-результата y при прогнозном значении признака-фактора х, составляющим 105% от среднего уровня х. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал с вероятностью 0,95.

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

Значимость коэффициента корреляции

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S_a=0.2152

Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 7
(122.4;132.11)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (18.63>2.228).

Статистическая значимость коэффициента регрессии подтверждается (62.62>2.228).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут следующими (t_табл=2.228):
(a - t_табл·S_a; a + t_табл·S _a)
(3.6205;4.4005)
(b - t_табл·S_b; b + t_табл·S_b)
(96.3117;102.0519)

2) F-статистики

см. также Корреляционный анализ. Примеры решения задач.

Пример №2
1. Расчет средних значений x, y: x = ∑x_i n = 660.6 11 = 60.05 y = ∑y_i n = 333.94 11 = 30.36 x·y = ∑x_i·y_i n = 19952.07 11 = 1813.82
2. Расчет дисперсий: S²(x) = x_i² n - x² = 40337.2 11 - 60.05² = 60.47 S²(y) = y_i² n - y² = 10329.52 11 - 30.36² = 17.43 3. Расчет среднеквадратических отклонений: S(x) = √ S²(x) = √ 60.47 = 7.78 S(y) = √ S²(y) = √ 17.43 = 4.17
4. Расчет линейного коэффициента корреляции Пирсона: r_xy = x·y - x·y S(x)·S(y) = 1813.82-60.05·30.36 7.78·4.17 = -0.2872 Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < r_xy < 0.3: слабая;
0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r_xy < 0.7: заметная;
0.7 < r_xy < 0.9: высокая;
0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и обратная.

Значимость линейного коэффициента корреляции Пирсона. t_набл = r_xy· √ n-2 √ 1-r_xy² = 0.2872· √ 9 √ 1-0.2872² = 0.9
По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=n-m-1=11-1-1=9 находим t_крит: t_крит(n-m-1;α/2) = t_крит(9;0.025) = 2.262, где m=1 - количество объясняющих переменных.
Если t_набл > t_критич, то полученное значение коэффициента корреляции Пирсона признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).
Поскольку t_набл < t_крит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим
В парной линейной регрессии t²_r = t²_b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Интервальная оценка для линейного коэффициента корреляции Пирсона ( r_xy - t_крит· 1-r_xy² √ n ; r_xy + t_крит· 1-r_xy² √ n )
Доверительный интервал для коэффициента корреляции ( 0.29 - 2.262· 1-0.29² √ 11 ; 0.29 + 2.262· 1-0.29² √ 11 ) Доверительный интервал для линейного коэффициента корреляции Пирсона: r(-0.9129;0.3386)

Перейти к онлайн решению своей задачи