Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности

Решения дифференциального уравнения y' = f(x,y) зависят от константы u, следовательно, представляют много решений данного уравнения. Хотелось бы выяснить условия на функцию f(x,y), при которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, удовлетворяющее заранее заданным требованиям. Для уравнения первого порядка требования формулируются следующим образом.

Найти решения дифференциального уравнения:
y' = f(x,y) (1)
удовлетворяющие условиям
y(x0) = y0. (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши - задачей Коши.

Назначение сервиса. Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения задачи Коши вида y' = f(x,y).

=
Использовать замену переменных y=u*v
Использовать метод вариации произвольной постоянной
Находить частное решение при y() = .
Для получения решения исходное выражение необходимо привести к виду: a1(x)y' + a0(x)y = b(x). Например, для y'-exp(x)=2*y это будет y'-2*y=exp(x).

Определение. Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y1), (x,y2) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y1) - f(x,y2)| ≤ L|y1 - y2|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.

Теорема. (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y' = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки существуют интервал (x0 - λ, x0 + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x0, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.

загрузка...