Аналитическое выравнивание ряда по степенной функции

Степенное уравнение тренда имеет вид y = b ta. Для расчетов уравнение с помощью метода логарифмирования приводят к виду ln(y) = ln(b) + a ln(t).
Точечный коэффициент эластичности: Э(x0) = b. Средний коэффициент эластичности: Э(x) = b.

Пример. 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание.
Система уравнений


Для наших данных система уравнений имеет вид
Аналитическое выравнивание ряда по степенной функции

Из первого уравнения выражаем а0 и подставим во второе уравнение
Получаем a0 = -0.7, a1 = 4.89
Уравнение тренда: y = 132.88t-0.7
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.


Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения



Дисперсия


Среднеквадратическое отклонение

Индекс детерминации


т.е. в 70.59 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая

ln(t) ln(y) t2 y2 t•y y(t) (y-y cp) 2 (y-y(t))2 (t-t p) 2 (y-y(t)) : y
0 4.38 0 19.2 0 4.89 0.83 0.26 4.09 2.22
0.69 4.37 0.48 19.09 3.03 4.4 0.81 0 1.77 0.15
1.1 4.32 1.21 18.64 4.74 4.12 0.72 0.04 0.85 0.86
1.39 4.25 1.92 18.05 5.89 3.92 0.61 0.11 0.4 1.41
1.61 4.17 2.59 17.43 6.72 3.76 0.5 0.17 0.17 1.73
1.79 4.09 3.21 16.76 7.34 3.63 0.39 0.21 0.05 1.9
1.95 3.66 3.79 13.42 7.13 3.52 0.04 0.02 0.01 0.51
2.08 3.56 4.32 12.64 7.39 3.43 0.01 0.02 0 0.45
2.2 3.4 4.83 11.57 7.47 3.35 0 0 0.03 0.19
2.3 3.22 5.3 10.36 7.41 3.27 0.06 0 0.08 0.17
2.4 3 5.75 8.97 7.18 3.21 0.22 0.04 0.14 0.63
2.48 2.3 6.17 5.3 5.72 3.14 1.36 0.71 0.21 1.94
2.56 2.56 6.58 6.58 6.58 3.09 0.82 0.27 0.29 1.34
2.64 2.94 6.96 8.67 7.77 3.04 0.28 0.01 0.38 0.27
2.71 3.37 7.33 11.34 9.12 2.99 0.01 0.14 0.47 1.28
2.77 2.64 7.69 6.96 7.32 2.94 0.69 0.09 0.56 0.8
2.83 3 8.03 8.97 8.49 2.9 0.22 0.01 0.66 0.29
2.89 3.22 8.35 10.36 9.3 2.86 0.06 0.13 0.75 1.16
36.4 62.45 84.52 224.33 118.6 62.45 7.63 2.25 10.93 17.29

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда




S a = 0.1099
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
Tтабл (n-m-1;a) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 2
132.88 2-0.7 - 1.746*0.65 ; 132.88 2-0.7 + 1.746*0.65
(81.02;82.32)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.


где L - период упреждения; уn+ L - точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n - количество наблюдений во временном ряду; Sy - стандартная ошибка прогнозируемого показателя;  Tтабл - табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 132.88*19-0.7  = 16.81
K1 = 1.3
16.81 - 1.3 = 15.51 ; 16.81 + 1.3 = 18.11
Интервальный прогноз:
t = 19: (15.51;18.11)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.


Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95%  будут следующими:
(a - t a S a; a + t a S a)
(-0.8941;-0.5102)
(b - t b S b; b + t b S b)
(132.4613;133.2931)
2) F-статистика. Критерий Фишера.


Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.
y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
4.38 4.89 -0.51 0.26 0
4.37 4.4 -0.03 0 0.22
4.32 4.12 0.2 0.04 0.05
4.25 3.92 0.33 0.11 0.02
4.17 3.76 0.42 0.17 0.01
4.09 3.63 0.46 0.21 0
3.66 3.52 0.14 0.02 0.1
3.56 3.43 0.13 0.02 0
3.4 3.35 0.05 0 0.01
3.22 3.27 -0.05 0 0.01
3 3.21 -0.21 0.04 0.02
2.3 3.14 -0.84 0.71 0.4
2.56 3.09 -0.52 0.27 0.1
2.94 3.04 -0.09 0.01 0.19
3.37 2.99 0.38 0.14 0.22
2.64 2.94 -0.3 0.09 0.47
3 2.9 0.1 0.01 0.16
3.22 2.86 0.36 0.13 0.07
2.25 2.06



Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 < DW < 2.5. Для более надежного вывода целесообразно обращаться к табличным значениям.
d1 < DW и d2 < DW < 4 - d2.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...