Оценка целесообразности выпуска новой продукции

Решение.
Обозначим через х₁, х₂ и х₃ − объем выпуска изделий вида «А», «Б» и «В» соответственно. Запишем математическую модель задачи:
max (4x₁ + 3x₂ + 5x₃), (1)
3x₁ + 2x₂ + 4x₃ ≤ 200, (2)
2x₁ + x₂ + 3x₃ ≤ 160, (3)
x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, x₃ ≥ 0. (4)
В этой модели функциональные ограничения (2)-(3) отражают условия ограниченности объемов, используемых в производстве ресурсов.
Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом Х^* = (х₁ = 0, х₂ = 100, х₃ = 0):
3∙0 + 2∙100 + 4∙0 = 200, (5)
2∙0 + 100 +3∙0 =100 < 160. (6)
Значение целевой функции (1) на этом плане равно
f(Х^*) = 4∙0 + 3∙100 + 5∙0 = 300.
Отметим, что нулевые значения х₁ и х₃ означают нецелесообразность выпуска изделий вида «А» и «В» с точки зрения принятого критерия оптимальности.
Двойственная задача имеет вид:
min (200y₁ + 160y₂), (7)
3y₁ + 2y₂ ≥ 4, (8)
2y₁ + y₂ ≥ 3, (9)
4y₁ + 3y₂ ≥ 5, (10)
y₁ ≥ 0, y₂ ≥ 0. (11)
Для нахождения двойственных оценок y₁ и y₂ используем вторую теорему двойственности.
Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.
Если j-я компонента оптимального плана исходной задачи положительна, то j-е ограничение двойственной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Теорема позволяет, если известно оптимальное решение одной из взаимно двойственных задач, найти оптимальное решение другой задачи.
Поскольку второе ограничение прямой задачи (см. соотношение (6)) выполняется как строгое неравенство, то y₂ = 0. Так как х₂> 0, то второе ограничение двойственной задачи (см. соотношение (9)) выполняется как равенство:
2y₁ + y₂ = 3.
Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:
y₂ = 0,
2y₁ + y₂ = 3,
т.е. Y^* = (y₁ = 3/2, y₂ = 0).
Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.
1. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны). В примере недефицитным ресурсом является сырье II-го типа, поскольку y₂ = 0. Дефицитным является сырье I-го типа, так как y₁ = 3/2.
2. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственной оценкой измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).
Заданные в примере изменения запасов ресурсов Δb₁ = 6 и Δb₂ =−10 находятся в пределах устойчивости двойственных оценок, поэтому:
− решение двойственной задачи останется тем же: Y^* = (y₁ = 3/2, y₂ = 0);
− изменение максимального значения целевой функции (общей стоимости продукции) составит
Δf_max = y₁∙Δb₁ + y₂∙Δb₂ = (3/2)∙6 + 0∙(−10) = 9;
− новый план выпуска продукции можно найти непосредственно из системы ограничений исходной задачи, в которой х₁ = 0, х₃ = 0, а в правых частях указаны новые запасы ресурсов (b₁' = 200 + 6 = 206, b₂' = 160 − 10 = 150):
3∙0 + 2∙х₂' + 4∙0 = 206,
2∙0 + х₂' +3∙0 < 150,
откуда х₂' = 103.
Итак, максимальное значение целевой функции составит
f(Х'^*) = 4∙0 + 3∙103 + 5∙0 = 309
при оптимальном плане производства Х'^* = (х₁' = 0, х₂' = 103, х₃' = 0).
3. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:
если ∆_j=∑a_ijy_i – c_j≤ 0 – выгодно,
если ∆_j>0 – невыгодно.
Для изделия «Г»:
∆_Г = 5∙(3/2) + 2∙0 – 6 = 3/2.
Поскольку ∆_Г = 3/2 > 0, то делаем вывод, что изделие «Г» невыгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление больше цены, за которую его можно продать.

Пример №2. Задача. На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции (1,2,…n). При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i –го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. ед. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных.
Требуется:
Найти оптимальный план симплекс-методом.
Найти решение двойственной задачи
Указать дефицитность ресурсов
Обосновать эффективность плана производства
Оценить целесообразность приобретения ресурса
Оценить целесообразность выпуска новой продукции

Данные:
b₁ = 25, b₂ = 30, b₃ = 42
a₁₁= 2, a₁₂= 3, a₁₃= 2, a₁₄= 1
a₂₁= 4, a₂₂= 1, a₂₃= 3, a₂₄= 2
a₃₁= 3, a₃₂= 5, a₃₃= 2,a₃₄= 2
c₁= 6, c₂= 5, c₃= 4, c₄= 3
Математическая модель прямой задачи
max (Z= 6x₁+5x2+4x3+3x4)
2x₁+3x₂+2x₃+x₄< 25
4x₁+x₂+3x₃+2x₄< 30
3x₁+5x₂+2x₃+2x₄< 42
x₁, x₂, x₃, x₄ > 0

Перейти к онлайн решению своей задачи

Математическая модель двойственной задачи
min (Z*= 25y1+30y2+42y3)
2y1+4y2+3y3> 6
3y1+y2+5y3> 5
2y1+3y2+2y3> 4
y1+2y2+2y3> 3
y1, y2, y3, y4 > 0

Стандартный вид

min (Z= -6x1-5x2-4x3-3x4)
2x1+3x2+2x3+x4+S1=25
4x1+x2+3x3+2x4+S2=30
3x1+5x2+2x3+2x4+S3=42
x1, x2, x3, x4, S1, S2, S3 > 0

Экономический смысл переменных
Xi – количество произведенной продукции
Yj – цена ресурса
Si – количество оставшегося ресурса

Анализ решения
Продукции 1 вида производим 6,5 ед., второго вида 4 единицы, третьего и четвертого вообще не производим. Прибыль при этом составит 59 ден. единиц.
Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. ед., 2 типа – 0,8 ден. ед. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед., поэтому его покупать не нужно.
Ресурсы 1 и 2 типа дефицитны, 3 типа избыточен.

Эффективность производства
Z = 6*6.5+5*4+4*0+3*0=59 Z*=25*1.4+30*0.8+42*0=59 Производство в целом эффективно
2*1,4+4*0,8+3*0< 6 6=6 Производство 1 вида продукции эффективно
3*1,4+1*0,8+5*0< 5 5=5 Производство 2 вида продукции эффективно
2*1,4+3*0,8+2*0< 4 5,2> 4 Производство 3 вида продукции не эффективно
1*1,4+2*0,8+2*0< 3 3=3 Т.к. x4 не входит в базис, то оптимальный план не единственен.

Оценить целесообразность покупки 5 ед. второго ресурса по цене 10 ден. ед, т.е. единица ресурса обойдется нам в 2 ден. ед. Мы же готовы покупать только по 0,8 ден. ед. за 1 единицу ресурса.
а1 = 2, а2 = 2, а3 = 4. Цена новой продукции равна 4.
2*1,4+2*0,8+2*0< 4 4,4> 4
Производство 5 вида продукции не эффективно.