Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x0), а dy=f’(x0)(x-x0), получим f(x) ≈ f(x0) + f’(x0)(x – x0), где x-x0 = ∆x.
Пример. Вычислить .
Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая x0=16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим .

Пример. Вычислить значение функции f(x) = ex в точке x=0.1.
Решение. В качестве x0 возьмем число 0, то есть x0=0, тогда ∆x=x-x0 =0.1 и e0.1≈e0 + e00.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e0.1≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t. Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t2, то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx.

загрузка...