Микроэкономические модели линейного программирования

Экстремальные задачи

Функция f(x) называется целевой функцией, а Х - множеством допустимых решений. Оптимальным решением задач называется пара (x*,f(x*)), где x* - точка максимума (минимума), а f(x*), - значение функции f в этой точке, то есть ее максимальное (минимальное) значение на множестве Х.
Решить задачи это значит: либо найти оптимальное решение; либо убедиться, что оптимальное решение не существует.
Решение задачи требует разрешения трех проблем: 1) проблему существования оптимального решения; 2) проблему установления необходимых и достаточных признаков оптимальности (то есть характерных свойств, присущих точкам максимума и минимума); 3) проблему численного вычисления оптимальных решений.

Пример №1. Построить математическую модель следующей задачи экономической деятельности. Для этого:

1. Выявить проблему и сформулировать цель исследования.
2. Провести описание переменных экономического процесса или объекта.
3. Записать математическую формулировку функции цели.
4. Сформулировать ограничения накладываемые условиями задачи и записать систему ограничений.
5. Предложить метод решения.

Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице.

Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна составлять 14 м²: из них не менее 3,5 м² и не более 5 м² следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг, а масса пластмассы не должна превышать 20% от массы кузова. Металлическая составляющая поверхности кузова должна превышать стеклянную поверхность не менее, чем в два раза. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект.

Решение.

Проблема заключается в ограниченных ресурсах для получения оптимального результата.

Описание переменных.
x₁ – количество металла, м²
x₂ – количество стекла, м²
x₃ –  количество пластмассы, м²

Функция цели.
F(x) = 25x₁ + 20x₂ + 40x₃ → min

Ограничения:

• Общая поверхность кузова
  x₁ + x₂ + x₃ ≥ 14
• Требования по стеклу
  x₂ ≥ 3,5
  x₂ ≤ 5
• Ограничения по массе
  10x₁ + 15x₂ + 3x₃ ≤ 150
• Требования по массе пластмассы
  3x₃ ≤ (10x₁ + 15x₂ + 3x₃)*20%
• Ограничения по поверхности
  x₁ ≥ 2x₂

Система ограничений.
x₁ + x₂ + x₃ ≥ 14
10x₁ + 15x₂ + 3x₃ ≤ 150
2x₁ + 3x₂  – 2,4x₃ ≥ 0
x₁ - 2x₂ ≥ 0
x₂ ≥ 3,5
x₂ ≤ 5
x₁, x₂, x₂ ≥ 0
F(x) = 25x₁ + 20x₂ + 40x₃ → min

Пример №2. На фабрике производится ткань двух артикулов. Каждая из этих тканей проходит последовательную обработку на станках их трех типов. Ниже указаны: производительность станка каждого типа при изготовлении тканей артикулов 1 и 2; суммарные мощности станочного парка фабрики в расчете на одну рабочую неделю; трудовые затраты по обслуживанию станков в минутах рабочего времени на 1 час работы станка; цена метра ткани каждого артикула. Известно также, что недельный ресурс трудозатрат на обслуживание станков равен 14800 ч.

Требуется составить недельный план выпуска тканей с целью максимизации прибыли изготовленной продукции, если 1 час оплачивается в размере 5400 рублей, а 1 час простоя станка 1-го типа составляет 1800 рублей, 2-го типа составляет 2000 рублей, 3-го типа составляет 1400 рублей. Стоимость сырья в расчет не принимать. При решении задачи следует учесть, что выпуск ткани артикула 1 должен не мене чем в 2 раза превышать выпуск ткани артикула 2.

Описание переменных.
x₁ – выпуск тканей артикула 1, м
x₂ – выпуск тканей артикула 2, м

y₁ – время работы 1-го станка, час.
y₂ – время работы 2-го станка, час.
y₃ – время работы 3-го станка, час.

y₁=x₁/20 + x₂/15
y₂=x₁/12 + x₂/6
y₃=x₁/6 + x₂/4
x_1, x₂, y₁, y₂, y₃≥ 0

Ограничения:

• по структуре выпуска
  x₁ ≥ 2x₂
• по трудозатратам
  10/60y₁ + 6/60y₂ +6/60y₃ ≤ 14800
  или
  1/6y₁ + 1/10y₂ +1/10y₃ ≤ 14800
• по имеющимся мощностям:
  y₁≤ 22000
  y₂ ≤ 40000
  y₃ ≤ 75000

Функция цели.
Прибыль  = Выручка  - Затраты = Цена*Количество – Затраты на простой станков – Трудозатраты
Выручка = 18x₁ + 25x₂
Затраты на простой станков =1,8y₁ + 2y₁ + 1,4y₃
Трудозатраты = 5,4(1/6y₁ + 1/10y₂ +1/10y₃)

F(x) = 18x₁ + 25x₂ – 1,8y₁ – 2y₂ – 1,4y₃ – 5,4(1/6y₁ + 1/10y₂ +1/10y₃)→ max
или
F(x) = 1/50 (900x₁+1250x₂-135y₁-127y₂-97y₃) → max

С учетом
y₁=x₁/20 + x₂/15
y₂=x₁/12 + x₂/6
y₃=x₁/6 + x₂/4

имеем:
F(x) = 17.33x₁+23.91x₂ → max

Система ограничений.
x₁ ≥ 2x₂
1/6(x₁/20 + x₂/15) + 1/10(x₁/12 + x₂/6) +1/10(x₁/6 + x₂/4) ≤ 14800
x₁/20 + x₂/15≤ 22000
x₁/12 + x₂/6 ≤ 40000
x₁/6 + x₂/4 ≤ 75000

или

x₁ ≥ 2x₂
x₁/30+19x₂/360 ≤ 14800
x₁/20 + x₂/15≤ 22000
x₁/12 + x₂/6 ≤ 40000
x₁/6 + x₂/4 ≤ 75000

F(x) = 17.33x₁+23.91x₂ → max

Пример №3. На предприятии имеется два цеха. В первом цеху работают 50 рабочих, из них 20 имеют 6 разряд и 30 – третий разряд. Во втором цеху, из 100 рабочих 50 имеют 6 разряд и остальные – третий. Требуется выполнить заказ на изготовление 2 типов деталей. На изготовление одной детали первого типа рабочий 6 разряда тратит 10 мин., а рабочий 3 разряда – 15 мин. На изготовление одной детали второго типа рабочий 6 разряда тратит 25 мин., а рабочий третьего – 30 мин.
13) составить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизирующий общий объем выпуска продукции с учетом того, что потребность в детали второго типа в два раза меньше потребности в деталях первого типа.
14) Определить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизируя прибыль, с учетом того, что рабочий 6 разряда получает 300 руб./мес., а рабочий 3 разряда – 200 руб./мес., притом, что цена реализации детали 1 типа равна 20 руб./шт, а второго типа – 34 руб./шт.

Решение.
x₁₁ – количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x₁₂ – количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x₂₁ – количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,
x₂₂ – количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,

13) Целевая функция
20x₁₁ + 50x₂₁ + 30x₁₂ + 50x₂₂ = max

Ограничения:
2(x₁₂+x₂₂) ≤ x₁₁+x₂₁
10/60x₁₁ + 15/60x₂₁ + 25/60x₁₁ + 30/60x₂₁ ≤ N
N – недельный фонд времени в часах.

14) Целевая функция: Прибыль = Доход – Затраты = Количество деталей * Цена реализации – ЗП работников
Затраты на заработную плату рабочим приведем к недельным, т.е разделим месячный заработок на 4.
F(x) = 20(20x₁₁ + 50x₂₁) + 23(30x₁₂ + 50x₂₂) – [(20+50)*300 + (30+50)*200]/4 = max

Ограничения:
2(x₁₂+x₂₂) ≤ x₁₁+x₂₁
10/60x₁₁ + 15/60x₂₁ + 25/60x₁₁ + 30/60x₂₁ ≤ N
N – недельный фонд времени в часах.