Комплексные числа

Комплексное число в тригонометрической форме: z=|z|[cos(φ+2πk)+i sin(φ+2πk)]

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z).

Назначение. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате Word.

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z = x + i*y.
z =

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π: аргумент комплексного числа

см. также Как извлечь корень из комплексного числа

Действия с комплексными числами


Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)

Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
Тогда
z1 · z2 = r1r2[cos(φ1 + φ2)+ i sin(φ1 + φ2)]

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:


Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2 - i).

Возведение в степень. Формула Муавра

Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример. Найти
Решение.


= 218(cos 6π + i sin 6π) = 218 = 262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988. Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень: (1+i)2 = 2i, а затем 2i988/2 = 2i494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме. Примечание:

  • abs - модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
  • arg - аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Записать комплексное число в тригонометрической форме.

z = -1 - 4i
Базовая формула:
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]
где φ = arctg((-4)/(-1));
Алгоритм
  1. находим угол φ.
  2. находим модуль |z| = sqrt(x2 + y2).

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = -1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x < 0, y < 0, то arg(z) находим как:


Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа

Пример №2. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е.
или
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений


Выразим и подставим в первое выражение


Поскольку , то получаем
или или

Алгебраическая форма числа

загрузка...