Раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя

Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Простой прием раскрытия неопределенностей вида 0/0 неопределенность и бесконечность/бесконечность неопределенность дает правило Лопиталя, сущность которого заключается в следующей теореме.
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций при x → x0 равен пределу отношения их производных, если последний существует, то есть (K может быть конечным и бесконечным).
Другой вид неопределенность 0/0 можно раскрыть другим методом.


Пример №2. Найти .
Решение..

Правило Лопиталя можно применять неоднократно, если отношение производных снова дает неопределенность или .

Пример №3. Найти .
Решение.
.
Замечание 1.Применяя неоднократно правило Лопиталя, нужно каждый раз проверять, не раскрылась ли уже неопределенность, иначе можно получить неверный результат.
Замечание 2.В теореме требование существования является существенным, так как если он не существует, то это не означает, что тоже не существует. Например, – не существует, однако .
Неопределенности вида 0·∞ и ∞-∞ с помощью тождественных преобразований сводятся к неопределенностям 0/0 или ∞/∞ и затем раскрываются по правилу Лопиталя.
Неопределенность 0·∞ возникает, если требуется найти при условии . В результате преобразования (либо ) получается неопределенность 0/0 (либо ∞/∞).
Если нужно найти , причем и , то, представив разность f(x) – g(x) = , получим неопределенность 0/0. Неопределенности вида 00, 1, ∞0 путем логарифмирования выражения [f(x)]g(x)сводятся к неопределенности 0·∞, рассмотренной выше.

Пример №4. Найти .
Решение.Здесь имеем неопределенность 0·∞. Перепишем данное выражение в виде .
Теперь можно применить правило Лопиталя:
.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример №5. Найти .
Решение.
.

Пример №6. Найти .
Решение.Данное выражение представляет собой неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем его к другому виду:

Пример №7. Найти .
Решение..

Пример №8. Найти .
Решение.Здесь неопределенность вида 00. Обозначим y=xx и прологарифмируем: lny = x·lnx, откуда в силу непрерывности логарифмической функции (пример 4). Итак, , откуда , т.е. .

Пример №9. Найти .
Решение.Имеем неопределенность 1, которую можно было бы раскрыть с помощью второго замечательного предела, однако мы иллюстрируем другой прием. Обозначим , тогда

.
Получим , тогда по определению логарифма .

Пример №10. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли: .
Решение.
Функция f(x)=ln(x) дифференцируема на всей области определения, функция φ(x) = x3 дифференцируема для любого x из R, при x→∞; x3→∞. Имеем неопределенность . Применяем правило Лопиталя–Бернулли:
.

Пример №11. Найти предел, используя правило Лопиталя–Бернулли:
.
Решение. Логарифмируем функцию
,
получим:
.
Функции ln(x) и ln(ex-1) дифференцируемы на (0;+∞). Применяем правило Лопиталя–Бернулли для неопределенности :
.

Скачать решение Скачать решение примера

Вычислите предел, применяя правило Лопиталя.

Решение. Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.
Для нашего примера:

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для нашего примера:
f(x) = π-2arctg(x)
g(x) = 1/x
Находим первую производную

g'(x) = -1/x2

f’(x) = 2x
g’(x) = 2x

Ответ: 2

загрузка...