Подробный пример нахождения экстремума функции двух переменных

см. также определение точек локальных экстремумов функции многих переменных

Задание №1. Исследовать на экстремум функцию двух переменных.
z = x2y2(1-x-y)

Решение находим с помощью калькулятора.
1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.
-x2•y2+2•x•y2(-x-y+1) = 0
-x2•y2+2•x2•y(-x-y+1) = 0

Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x1 = 0
x2 = -2/3•y+2/3
-y2(-2/3•y+2/3)2+2•y(-2/3•y+2/3)2(-1/3•y+1/3) = 0
Откуда, M1(2/3;0), M2(2/5;2/5), M3(0;1)
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
y = 0

y = -2/3•x+2/3
-x2(-2/3•x+2/3)2+2•x(-2/3•x+2/3)2(-1/3•x+1/3) = 0
Откуда, M4(0;2/3), M5(1;0)
Количество критических точек равно 5.
M1(2/3;0), M2(2/5;2/5), M3(0;1), M4(0;2/3), M5(1;0)

3. Найдем частные производные второго порядка.


4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(2/3;0)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M2(2/5;2/5)



AC - B2 = 64/3125 > 0 и A < 0 , то в точке M2(2/5;2/5) имеется максимум z(2/5;2/5) = 16/3125
Вычисляем значения для точки M3(0;1)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M4(0;2/3)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вычисляем значения для точки M5(1;0)



AC - B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Вывод: В точке M2(2/5;2/5) имеется максимум z(2/5;2/5) = 16/3125;

Задание №2. Исследовать на экстремум.
z = 3x + 9y -x2 -xy - y2 -4
Решение.

Скачать решение

см. другие примеры

загрузка...