Метод множителей Лагранжа. Пример решения

Задание. Имеется два способа производства некоторого продукта. Издержки производства при каждом способе зависят от произведенных y1 и у2 следующим образом: g(y1)= 9y1 + y12, g(y2)=6y2 + y22 . За месяц необходимо произвести 3×50 единиц продукции, распределив ее между двумя способами так, чтобы минимизировать общие издержки (при решении используйте сервис метод множителей Лагранжа).

Решение. Найдем экстремум функции F(X) = 9•x1+x12+6•x2+x22, используя функцию Лагранжа:

где
- целевая функция вектора .
- ограничения в неявном виде (i=1..1)
В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:
F(X) = 9•x1+x12+6•x2+x22
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2•x1+λ+9 = 0
∂L/∂x2 = λ+2•x2+6 = 0
∂F/∂λ = x1+x2 -150= 0
Систему решаем с помощью метода Гаусса или используя формулы Крамера.

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Таким образом, чтобы общие издержки производства были минимальны, необходимо производить y1 = 74.25; y2 = 75.75.

Задание. По плану производства продукции предприятию необходимо изготовить 50 изделий. Эти изделия могут быть изготовлены 2-мя технологическими способами. При производстве x1 - изделий 1-ым способом затраты равны 3x1+x12 (т. руб.), а при изготовлении x2 - изделий 2-ым способом они составят 5x2+x22 (т. руб.). Определить сколько изделий каждым из способов необходимо изготовить, чтобы общие затраты на производство были минимальные.

Решение: составляем целевую функцию и ограничения:
F(X) = 3x1+x12 + 5x2+x22 → min
x1+x2 = 50

загрузка...