Метод Лагранжа

Найдем экстремум функции F(X) = x1•x2, используя функцию Лагранжа:
где - целевая функция вектора .
- ограничения в неявном виде (i=1..n)

Примечание: решение ведем с помощью сервиса Функция Лагранжа онлайн

Пример 1. В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, выступает функция:
F(X) = x1•x2
при условии: 3x1 + x2 = 6.
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 3•λ+x2 = 0
∂L/∂x2 = x1+λ = 0
∂F/∂λ = 3•x1 + x2-6 = 0
Решаем данную систему методом Гаусса.
Запишем систему в виде:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Точка экстремума (1;3). Значение функции в точке экстремума F(1;3)=3.

Пример 2.Рассмотрим функцию:
F(X) = 3•x12+2•x22-3•x1+1
и условия-ограничения: x12 + x22 = 4
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:

Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2•x1•(λ+3)-3 = 0
∂L/∂x2 = 2•(λ+2)•x2 = 0
∂F/∂λ = x12+x22-4 = 0
Выражаем из первого уравнения x1:

Из второго уравнения получаем x2 = 0.
Подставляем в третье уравнение:
или
Перепишем в виде: λ+3 =3/4 откуда λ=-9/4.
Подставляя λ в выражение для x1, получаем:

Стационарная точка (2;0). Значение функции в стационарной точке: F(2;0) = 7.

Пример 3. Найдем локальные стационарные точки функции:
F(X) = 3•x1•x2
g(x): 2•x1+x2=3
Перепишем ограничение задачи в неявном виде: 2•x1+x2-3 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L = 3•x1•x2 + λ•(2•x1+x2-3)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 2•λ+3•x2 = 0
∂L/∂x2 = 3•x1+λ = 0
∂F/∂λ = 2•x1+x2-3 = 0
Данную систему решаем методом обратной матрицы:
Запишем матрицу в виде:

Вектор B:
BT = (0,0,3)
Главный определить
∆ = 0•(0•0-1•1)-3•(3•0-1•2)+2•(3•1-0•2) = 12
Транспонированная матрица

Алгебраические дополнения

1,1 = (0•0-1•1) = -1

1,2 = -(3•0-2•1) = 2

1,3 = (3•1-2•0) = 3

2,1 = -(3•0-1•2) = 2

2,2 = (0•0-2•2) = -4

2,3 = -(0•1-2•3) = 6

3,1 = (3•1-0•2) = 3

3,2 = -(0•1-3•2) = 6

3,3 = (0•0-3•3) = -9
Обратная матрица

Вектор результатов X
X = A-1 • B


x1 = 9 / 12 = 0.75
x2 = 18 / 12 = 1.5
λ = -27 / 12 = -2.25
Таким образом, локальный экстремум (0.75; 1.5). Значение функции в стационарной точке F(0.75; 1.5) = 3.375.

Пример 4. Найдем точку экстремума функции:
F(X) = 2x12+x1x2+x22+2x1-4x2
Перепишем ограничение задачи в неявном виде:
φ1 = x1+x2-2 = 0
Составим вспомогательную функцию Лагранжа:
L = 2x12+x1x2+x22+2x1-4x2 + λ(x1+x2-2)
Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенному множителю λ.
Составим систему:
∂L/∂x1 = 4x1+λ+x2+2 = 0
∂L/∂x2 = x1+λ+2x2-4 = 0
∂F/∂λ = x1+x2-2 = 0
Решаем данную систему с помощью формул Крамера.
Запишем систему в виде:

BT = (-2,4,2)
Главный определитель:
∆ = 4 • (2 • 0-1 • 1)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-2 • 1) = -4 = -4
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = -2 • (2 • 0-1 • 1)-4 • (1 • 0-1 • 1)+2 • (1 • 1-2 • 1) = 4

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = 4 • (4 • 0-2 • 1)-1 • (-2 • 0-2 • 1)+1 • (-2 • 1-4 • 1) = -12

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 4 • (2 • 2-1 • 4)-1 • (1 • 2-1 • (-2))+1 • (1 • 4-2 • (-2)) = 4

Стационарная точка: F(-1; 3).

загрузка...